Формула Маграбе

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В финансовой математике, формула Маграбе это одна из формул оценки опционов. Она применяется к опциону на обмен (опцион Маграбе) одного рискованного актива на другой в момент погашения. Формула была независимо предложена Вильямом Маграбе и Стенли Фишером в 1978 году.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть и  — цены двух рискованных активов в момент , каждый из них имеет фиксированный непрерывный дивиденд равный . Опцион , который мы хотим оценить даёт покупателю право (но не обязанность) обменять второй актив на первый в момент погашения . Другими словами его выигрыш составит .

Модель рынка Маграбе предполагает только существование двух рискованных активов, чьи цены следуют геометрическому броуновскому движению. Волатильности этих броуновских движений не постоянны, но важно, что волатильность их отношения является константой. В частности, модель не предполагает существование безрискового актива (такого как облигация с нулевым купоном) или какой-либо нормы процентной ставки.

Если волатильности равны , то , то  — коэффициент корреляции броуновских движений .

Формула Маграбе устанавливает справедливую цену опциона в начальный момент времени как:

где через обозначено кумулятивное стандартное нормальное распределение,

,

.

Доказательство[править | править вики-текст]

Формула доказывается сведением к формуле Блэка — Шоулза:

  • Во первых, рассмотрим оба актива, оценённых в единицах (в таких случаях говорят, что используется в качестве счётных денег), это означает, что единица первого актива теперь стоит единиц второго актива, а второй актив стоит в точности 1.
  • При таком выборе счётных денег, второй актив становится безрисковым и его дивидендная ставка совпадает с нормой процентной ставки. Доход опциона, пересчитанный в соответствии с изменением счётных денег, равен .
  • Таким образом, исходный опцион становится колл-опционом на первый базовый актив (с его счётной ценой) ценой страйк равной 1 единице безрискового актива. Отметим, что дивидендная ставка первого актива остаётся той же самой даже после пересчёта.
  • Применяя формулу Блэка — Шоулза к этим значениям как к соответствующим входным данным, например, значение исходного актива , процентная ставка , волатильность и т. д, получим цену опциона, выраженную в счётных деньгах.
  • Так как окончательная цена опциона выражена в единицах , то умножение на переведёт ответ в исходные единицы, то есть обычную валюту, в которой и получим формулу Маграбе.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • William Margrabe. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another. Journal of Finance, 33:177-186, 1978
  • Stanley Fischer. Call Option Pricing When the Exercise Price is Uncertain, andthe Valuation of Index Bonds.Journal of Finance, 33:169-176, 1978