Фундаментальный дискриминант

Фундаментальный дискриминант D — это целочисленный инвариант в теории целочисленных квадратичных форм от двух переменных (бинарных квадатичных форм). Если $Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ является квадратичной формой с целыми коэффициентами, то $D=b^{2}-4ac$ является дискриминантом формы Q(x, y).

Существуют явные условия конгруэнтности, которые дают множество фундаментальных дискриминантов. Конкретно — D является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

• D ≡ 1 (mod 4) и свободно от квадратов,
• D = 4m, где m ≡ 2 или 3 (mod 4) и m и свободно от квадратов.

Первые десять положительных фундаментальных дискриминантов:

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33 (последовательность A003658 в OEIS).

Первые десять отрицательных фундаментальных дискриминантов:

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, −23, −24, −31 (последовательность A003657 в OEIS).

Связь с квадратными корнями

Есть связь теории целочисленных бинарных квадратичных форм и арифметикой квадратичных числовых полей. Основное свойство этой связи — D₀ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда $D_{0}=1$ или D₀ является дискриминантом квадратичного числового поля. Существует в точности одно, с точностью до изоморфизма, квадратичное поле для любого фундаментального дискриминанта $D_{0}\neq 1$.

Предупреждение: Существует причина, по которой некоторые авторы не считают 1 фундаментальным дискриминантом — можно рассматривать $D_{0}=1$ как вырожденное «квадратичное» поле Q (рациональные числа).

Разложение

Фундаментальные дискриминанты можно описать их разложением на положительные и отрицательные простые числа. Определим множество

$S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,\;\ldots \}$,

где простые числа ≡ 1 (mod 4) берутся положительными, а числа, сравнимые с 3, берутся отрицательными. Тогда число $D_{0}\neq 1$ является фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда оно является произведением взаимно простых членов S.