Дискриминант алгебраического числового поля

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K, полученного из $\mathbb {Q}$ путём присоединения корня $x^{3}-x^{2}-2x+1$. Эта фундаментальная область находится внутри ${K{\otimes }_{\mathbb {Q} }}\mathbb {R}$. Дискриминант поля K равен 49 = 7². Соответственно, объём фундаментальной области равен 7 и K разветвляется только разветвляется в точке 7.

Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер (кольца целых чисел) алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа разветвляются.

Дискриминант является наиболее важным инвариантом числового поля и появляется в некоторых важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда поля K и формула для числа классов поля K. Старая теорема Эрмита утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этого числа остаётся открытой проблемой и является предметом исследований.

Дискриминант поля K может называться абсолютным дискриминантом поля K для того, чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения K/L числовых полей. Последнее является идеалом в кольце целых чисел поля L и подобно абсолютному дискриминанту показывает, какие простые числа разветвляются в K/L. Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю L быть больше $\mathbb {Q}$. Фактически, когда $L=\mathbb {Q}$, относительный дискриминант $K/\mathbb {Q}$ является главным идеалом кольца $\mathbb {Z}$, порождаемого абсолютным дискриминантом поля K.

Определение

Пусть K будет алгебраическим числовым полем и пусть O_K будет его кольцом целых чисел. Пусть $b_{1},\dots ,b_{n}$ будет целочисленным базисом кольца O_K (т.е. базис как Z-модуль), и пусть $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}$ — множество вложений поля K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец $K\rightarrow \mathbb {C}$). Дискриминант поля K равен квадрату определителя n х n матрицы B, (i,j)-элементы которой равны $\sigma _{i}(b_{j})$. В символической форме,

$\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.$

Эквивалентно, можно использовать след из K в $\mathbb {Q}$. В частности, определим форму следа как матрицу, (i,j)-элементы которой равны $\mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$. Эта матрица равна B^TB, так что дискриминант поля K является определителем этой матрицы.

Примеры

• Квадратичные числовые поля: пусть d является свободным от квадратов числом, тогда дискриминант поля $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ равен

$\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.$

Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантом.

• Круговые поля: пусть n > 2 является целым числом, $\zeta _{n}$ — примитивным n-ым корнем из единицы, а $K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ — n-ым круговым полем. Дискриминант поля $K_{n}$ задаётся формулой

$\Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}$

где $\varphi (n)$ — функция Эйлера, а произведение в знаменателе пробегает по всем простым p, делящим n.

• Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет степенной целочисленный базис, то есть может быть записано как $O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]$, дискриминант поля K равен дискриминанту минимального многочлена от $\alpha$. Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца $O_{K}$ равным $b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1}$. Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда, ассоциированной с $\alpha _{i}=\sigma _{i}(\alpha )$, квадрат определителя которого равен

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена.

• Пусть $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ будет числовым полем, полученным присоединением корня $\alpha$ многочлена $x^{3}-x^{2}-2x-8$. Данный пример является оригинальным примером Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как $\{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\}$, а дискриминант поля K равен −503.
• Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей более высокой степени это неверно. Например, имеется два неизоморфных кубических поля с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x³ − 21x + 28 или x³ − 21x − 35 соответственно.

Основные результаты

• Теорема Брилля: Знак дискриминанта равен $(-1)^{r_{2}}$, где r₂ — число комплексных точек поля K.
• Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит $\Delta _{K}$.
• Теорема Штикельбергера:

$\Delta _{K}\equiv 0$ или $1{\pmod {4}}.$

• Граница Минковского: Пусть n обозначает степень расширения $K/\mathbb {Q}$, а r₂ обозначает число комплексных мест поля K, тогда

$|\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.$

• Теорема Минковского: Если K не равно $\mathbb {Q}$, тогда $|\Delta _{K}|>1$ (это следует прямо из границы Минковского).
• Теорема Эрмита — Минковского: Пусть N — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей K с $|\Delta _{K}|<N$. Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).

История

Ричард Дедекинд показал, что любое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля.

Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871. В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлением.

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857. В 1877 Александр фон Брилль определил знак детерминанта. Леопольд Кронекер сформулировал теорему Минковского в 1882, хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891. В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминанта. К концу девятнадцатого века Штикельбергер, Людвиг получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре.

Относительный дискриминант

О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об абсолютном дискриминанте поля K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта $\Delta _{K}/L$ расширения числовых полей K/L, который является идеалом в O_L. Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в O_L может не быть главным и что O_L может не быть базисом O_K. Пусть $\{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}$ будет множеством вложений K в $\mathbb {C}$, которые являются единицами на L. Если $b_{1},\dots ,b_{n}$ является каким-либо базисом поля K над L, пусть $d(b_{1},\dots ,b_{n}$) будет квадратом детерминанта n х n матрицы, (i,j)-элементы которой равны $\sigma _{i}(b_{j})$. Тогда относительный дискриминант расширения K/L является идеалом, порождённым $d(b_{1},\dots ,b_{n})$, где $\{b_{1},\dots ,b_{n}\}$ пробегает по всем целочисленным базисам расширения K/L. (т.е. по базисам со свойством, что $b_{i}\in O_{K}$ для всех i.) Альтернативно, относительный дискриминант расширения K/L равен норме дифферента K/L. Когда $L=\mathbb {Q}$, относительный дискриминант $\Delta _{K/\mathbb {Q} }$ является главным идеалом кольца $\mathbb {Z}$, порождаемым абсолютным дискриминантом $\Delta _{K}$. В башне полей K/L/F относительные дискриминанты связаны выражением

$\Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}$,

где ${\mathcal {N}}$ обозначает относительную норму.

Разветвление

Относительный дискриминант определяет ветвление расширения поля K/L. Главный идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант $\Delta _{K/L}$. Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля $\mathbb {Q}$. Поля, которые больше $\mathbb {Q}$, могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с числом классов, бо́льшим единицы его гильбертово поле классов, является нетривиальным неразветвлённым расширением.

Корневой дискриминант

Корневой дискриминант числового поля K степени n, часто обозначаемый rd_K, определяется как n-ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля K. Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование башни полей классов даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})$, где m = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2√m ≈ 296,276. Если r и 2s равны числу вещественных и комплексных вложений, так что $n=r+2s$, положим $\rho =r/n$ и $\sigma =2s/n$. Обозначим через $\alpha (\rho ,\sigma )$ инфимум rd_K для полей K с $(r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)$. Мы имеем (для достаточно больших)

$\alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 60,8^{\rho }22,3^{\sigma }$,

а в предположении верности обобщённой гипотезы Римана

$\alpha (\rho ,\sigma )\geqslant 215,3^{\rho }44,7^{\sigma }.$

Таким образом, мы имеем $\alpha (0,1)<296,276$. Мартине показал, что $\alpha (0,1)<93$ и $\alpha (1,0)<1059$. Войт доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант > 14 с 1229 исключениями.

Связь с другими величинами

• При вложении в $K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R}$ объём фундаментальной области кольца O_K равен ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ (иногда используется другая мера и объём получается равным $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$, где r₂ — число комплексных мест поля K).
• Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля K, а потому также в аналитической формуле числа классов и в теореме Брауэра–Зигеля.
• Относительный дискриминант расширения K/L равен кондуктору Артина регулярного представления группы Галуа расширения K/L. Это даёт связь между кондукторами Артина и характерами группы Галуа расширения K/L, которая называется формулой кондуктора-дискриминанта.

Литература для дальнейшего чтения

• James S. Milne. Algebraic Number Theory. — 1998.