Функция Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Функция Дирихле́ — функция, принимающая единицу на рациональных значениях, и нуль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.

Символически, определяется как функция следующим образом[1]:

.

Свойства[править | править код]

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций. Однако, функцию Дирихле можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций[2][3]:

.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода.

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.

Не является интегрируемой в смысле Римана[4]. Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Примечания[править | править код]

  1. Никольский, 1983, с. 357.
  2. Dunham, 2005, с. 197.
  3. Рудин, 1976, с. 162 Пример 7.5.
  4. Фихтенгольц, 2001, с. 105.

Литература[править | править код]

  • С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
  • Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Физматлит, 2001. — Т. 1.
  • В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
  • William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5.
  • У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Dirichlet-function", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Dirichlet Function — from MathWorld
  • The Modified Dirichlet Function by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.