Функция Мангольдта — арифметическая функция
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
, равная
ln
p
{\displaystyle \ln p}
, если
n
=
p
m
{\displaystyle n=p^{m}}
— степень простого числа , в противном случае
Λ
(
n
)
=
0
{\displaystyle \Lambda (n)=0}
. Кратко:
Λ
(
n
)
=
{
ln
p
,
n
=
p
m
0
,
n
≠
p
m
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases}}}
Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.
Из определения следует, что
∑
d
∣
n
Λ
(
d
)
=
ln
n
{\displaystyle \sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n}
Λ
(
n
)
=
∑
d
∣
n
μ
(
d
)
ln
n
d
=
−
∑
d
∣
n
μ
(
d
)
ln
d
{\displaystyle \Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d}}=-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d}
Связь с распределением простых чисел [ править | править код ]
Связь с дзета-функцией Римана :
ln
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
2
∞
Λ
(
n
)
n
s
ln
n
,
Re
s
>
1
{\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1}
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
s
,
Re
s
>
1
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1}
Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле :
ln
L
(
s
,
χ
)
=
∑
n
=
2
∞
χ
(
n
)
Λ
(
n
)
n
s
ln
n
,
Re
s
>
1
{\displaystyle \ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1}
−
L
′
(
s
,
χ
)
L
(
s
,
χ
)
=
∑
n
=
1
∞
χ
(
n
)
Λ
(
n
)
n
s
,
Re
s
>
1
{\displaystyle -{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1}
∑
n
⩽
x
Λ
(
n
)
n
∼
ln
x
{\displaystyle \sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}\sim \ln x}
∑
n
⩽
x
Λ
(
n
)
n
ln
n
=
ln
ln
x
+
γ
+
O
(
e
−
c
ln
x
)
,
{\displaystyle \sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n}}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}}),}
где
γ
{\displaystyle \gamma }
— постоянная Эйлера
Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта
ψ
(
x
)
=
∑
n
⩽
x
Λ
(
n
)
{\displaystyle \psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)}
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
−
s
∫
n
=
1
∞
ψ
(
x
)
x
1
+
s
d
x
,
Re
s
>
1
{\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1}
Прахар. Распределение простых чисел. — М. : Мир, 1967.