Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция $\Lambda (n)$, равная $\ln p$, если $n=p^{m}$ — степень простого числа, в противном случае $\Lambda (n)=0$:

$\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases}}$

где $p$ - простое число и $m\geq 1$.

Функция введена немецким математиком Гансом фон Мангольдтом в 1894 году. Используется в доказательстве закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях в частности.

Значения

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\Lambda (n)$	$0$	$\ln 2$	$\ln 3$	$\ln 2$	$\ln 5$	$0$	$\ln 7$	$\ln 2$	$\ln 3$	$0$

Свойства

Сумматорное тождество

Из основной теоремы арифметики следует, что для всех $n\geq 1$:

$\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n$

Доказательство. При $n=1$ обе части равны $0$. При $n>1$ запишем каноническое разложение:

$n=\prod _{k=1}^{r}p_{k}^{a_{k}}$

Прологарифмируем:

$\ln n=\sum _{k=1}^{r}a_{k}\ln p_{k}$

Ненулевой вклад в сумму $\sum _{d\mid n}\Lambda (d)$ дают лишь делители вида $d=p_{k}^{m}$ при $1\leq m\leq a_{k}$. Следовательно:

$\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\sum _{k=1}^{r}\sum _{m=1}^{a_{k}}\Lambda (p_{k}^{m})=\sum _{k=1}^{r}\sum _{m=1}^{a_{k}}\ln p_{k}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}\ln p_{k}=\ln n$

Формула Мёбиуса

Применяя формулу обращения Мёбиуса к предыдущему тождеству, получаем:

$\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d}}=-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d$

Доказательство. Раскроем $\ln {\frac {n}{d}}=\ln n-\ln d$:

$\Lambda (n)=\ln n\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d=I(n)\ln n-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d$

где $I(n)$ — единичная арифметическая функция, для которой $\sum _{d\mid n}\mu (d)=I(n)$. Так как $I(n)\ln n=0$ для всех $n\geq 1$, утверждение доказано.

Применение в теории вероятностей и теорема о примитивных множествах

Множество натуральных чисел $A$ называется примитивным, если ни один из его элементов не является делителем другого. Примерами примитивных множеств служат множество всех простых чисел, а также множество чисел, имеющих ровно $k$ простых множителей (с учётом кратности). В 1935 году Пол Эрдёш доказал, что для любого примитивного множества $A$ сумма $\sum _{a\in A}{\frac {1}{a\ln a}}$ конечна. Позднее Эрдёш, Шаркози и Семереди выдвинули гипотезу о том, что для любого примитивного множества $A\subset [x,+\infty )$ выполнено:

$\sum _{a\in A}{\frac {1}{a\ln a}}\leqslant 1+o(1),\quad x\to \infty .$

В 2023 году Дж. Лихтман доказал более слабую оценку $\sum _{a\in A}{\frac {1}{a\ln a}}<{\frac {e^{\gamma }\pi }{4}}+o(1)\approx 1{,}399+o(1)$.

В апреле 2026 года гипотеза была полностью доказана языковой моделью GPT-5.4 Pro (под руководством Лиама Прайса). Новаторским инструментом послужило сумматорное тождество функции Мангольдта $\sum _{q\mid n}\Lambda (q)=\ln n$, с помощью которого был построен марковский процесс фон Мангольдта — цепь Маркова на натуральных числах с переходными вероятностями

$P(n\to n/q)={\frac {\Lambda (q)}{\ln n}}.$

Этот нисходящий процесс задаёт инвариантивную меру

$\nu (n)=\int _{1}^{\infty }{\frac {n^{-s}}{\zeta (s)\,\ln n}}\,\mathrm {d} s\;\sim \;{\frac {1}{n\ln n}},$

где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана, а интеграл есть преобразование Меллина от $1/\zeta (s)$. Поскольку цепь Маркова пересекает любое примитивное множество не более одного раза, из инвариантности меры, построенной посредством функции Мангольдта, следует

$\sum _{a\in A}\nu (a)\leq 1,$

что ведёт к требуемой оценке.

Теренс Тао переформулировал это доказательство без использования цепей Маркова, применив дискретный аналог теоремы о дивергенции. Рассматривая граф натуральных чисел с потоком ${\frac {\Lambda (q)}{nq\,\ln ^{2}(nq)}}$ вдоль рёбер $nq\to n$, тождество функции Мангольдта обеспечивает почти нулевую дивергенцию в каждой вершине, откуда и вытекает требуемое неравенство. Тао отметил, что этот подход устанавливает ранее неочевидную связь между аналитической теорией чисел и теорией потоков в сетях.

Инвариантная мера $\nu$, построенная посредством функции Мангольдта, допускает вероятностную интерпретацию через дзета-процесс. Дзета-процесс определяется как семейство случайных величин $(Z_{s})_{s>1}$, где $Z_{s}$ принимает значение $n$ с вероятностью ${\frac {1}{\zeta (s)\,n^{s}}}$, может быть состыковано в монотонную по делимости цепь $Z_{s_{2}}\mid Z_{s_{1}}$ при $s_{2}>s_{1}$. Пуассонизация этой цепи по непрерывному времени воспроизводит марковский процесс фон Мангольдта и позволяет вывести ряд классических результатов, таких как Теорема Харди — Рамануджана о числе простых делителей, Теорема Эрдёша — Каца и сходимость к распределению Пуассона–Дирихле для нормированных простых делителей.

Связь с распределением простых чисел

• Связь с дзета-функцией Римана :$\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$
• $-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$
• Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

$\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$

$-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$

• $\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}\sim \ln x$
• $\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n}}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}}),$ где $\gamma$ — постоянная Эйлера
• Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

$\psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)$

• Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-s\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1$

Литература

• Apostol, T. M. Introduction to Analytic Number Theory. — 1st edition. — New York: Springer, 1976. — ISBN 978-0-387-90163-3. — doi:10.1007/978-1-4757-5579-4.
• Mangoldt, H. von. Zu Riemanns Abhandlung „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse". — 1895. — Т. 114. — С. 255–305.
• Lichtman, Jared Duker. A proof of the Erdős primitive set conjecture (англ.) // Forum of Mathematics, Pi. — 2023. — Vol. 11. — doi:10.1017/fmp.2023.16.
• Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.