L-функция Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

L-функция Дирихле  — комплексная функция, заданная при (при в случае главного характера) формулой

,

где  — некоторый числовой характер (по модулю k). -функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле[править | править код]

В силу мультипликативности числового характера -функция Дирихле представима в области в виде эйлерова произведения по простым числам:

.

Эта формула обуславливает многочисленные применения -функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией[править | править код]

-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана формулой

.

Эта формула позволяет доопределить для области c простым полюсом в точке .

Функциональное уравнение[править | править код]

Аналогично функции Римана -функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим следующим образом: Если - гамма-функция, - чётный характер, то

Если - нечётный характер, то

Пусть также - сумма Гаусса характера , а для чётного и для нечётного . Тогда функциональное уравнение принимает вид:

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.