Цепная гомотопия

Цепна́я гомото́пия — вариация понятия «гомотопия» в алгебраической топологии и гомологической алгебре

Определение

Пусть $C$ — цепной комплекс модулей (то есть семейство модулей $C_{n}$ и модульных гомоморфизмов $d_{n}\colon C_{n}\to C_{n-1}$), $f$ и $g$ — цепные отображения комплекса $C$ в комплекс $C'$ (то есть такие гомоморфизмы $f_{n}$ что $d_{n}f_{n}=f_{n-1}d_{n}$).

Цепной гомотопией между отображениями $f$ и $g$ называется такое семейство гомоморфизмов $s_{n}\colon C_{n}\to C'_{n+1}$, что

$s_{n-1}d_{n}+d'_{n+1}s_{n}=f_{n}-g_{n}.$

Диаграмма для цепной гомотопии

Свойства

• Если отображения $f$ и $g$ цепно гомотопны, то индуцированные отображения на гомологиях $H_{n}(C)\to H_{n}(C')$ равны (где $H_{n}(C)=\mathrm {Ker} \,d_{n}/\mathrm {Im} \,d_{n+1}$). В самом деле, пусть $c\in C_{n}$ — цикл, то есть элемент из $\mathrm {Ker} \,d_{n}$. Тогда $d_{n}(c)=0$. Так как $f$ и $g$ цепно гомотопны, то

  $f_{n}(c)-g_{n}(c)=s_{n-1}d_{n}(c)+d'_{n+1}s_{n}(c)=d'_{n+1}s_{n}(c)$,

то есть отличаются на границу (элемент $\mathrm {Im} \,d'_{n+1}$).

• Для большинства теорий гомологий доказывается, что гомотопные непрерывные отображения топологических пространств $f,g\colon X\to Y$ индуцируют цепно гомотопные отображения комплексов $C(X)\to C(Y)$ и, по доказанному, одинаковые отображения групп гомологий $H(X)\to H(Y)$ (выполняется аксиома гомотопической инвариантности).

Литература

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — М.: Наука, 1989
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971