Частичный след

Слева полная матрица плотности $\rho _{AB}$ двухчастичной системы. Справа редуцированная матрица плотности $\rho _{A}$ первой частицы полученная как частичный след для второй частицы.

В линейной алгебре частичный след обобщает понятие след матрицы. Cлед линейного оператора является скаляром, тогда как частичный след сам является линейным оператором. Частичный след применяется в квантовой информатике и теории декогеренции.

Определение

Для любого пространства $A$, обозначим пространство линейных операторов на $A$ нем как $L(A)$. Пусть $V$, $W$ являются конечномерными векторными пространствами над полем с размерностями $m$ и $n$ соответственно. Пусть базисами в V иW будут соответственно $v_{1},\ldots ,v_{m}$, и $w_{1},\ldots ,w_{n}$.

Частичный след $\operatorname {Tr} _{W}$ для пространства $W$, это отображение $\{a_{k\ell ,ij}\}=A\in \operatorname {L} (V\otimes W)\mapsto \{b_{k,i}\}=\operatorname {Tr} _{W}(A)\in \operatorname {L} (V)$ заданное соотношением $b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.$

Линейный оператор заданный таким образом не зависит от выбора базиса $v_{1},\ldots ,v_{m}$, и $w_{1},\ldots ,w_{n}$.

Частичный след как квантовая операция

Рассмотрим двухчастичные состояния. Чистые вектора-состояния принадлежат гильбертову пространству $H_{A}\otimes H_{B}$, а матрицы плотности, соответственно, $H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$. Рассмотрим матрицу плотности $\rho _{AB}\in H_{A}\otimes H_{B}\otimes H_{A}^{*}\otimes H_{B}^{*}$.

$\{{\left|{i}\right\rangle }_{A}\}$ и $\{{\left|{i}\right\rangle }_{B}\}$ — базисы пространств $H_{A}$ и $H_{B}$ соответственно.

Тогда подсистема $A$ описывается матрицей плотности $\rho _{A}=\operatorname {Tr} _{B}(\rho _{AB})=\sum _{{\left|{i}\right\rangle }_{B}}{{\left\langle {i}\right|}_{B}\rho _{AB}{\left|{i}\right\rangle }_{B}}$

Литература

• Д. А. Кронберг, Ю. И. Ожигов, А. Ю. Чернявский (2012). «Алгебраический аппарат квантовой информатики».