4-градиент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

4-градие́нт (четыре-градиент, четырёхградиент, 4-на́бла; обозначается D, или ) в специальной теории относительности — 4-векторный дифференциальный оператор в псевдоевклидовом пространстве Минковского, определяемый как

где  — 3-вектор градиента.

Если вычислить скалярное произведение D на самого себя (учитывая, что пространство Минковского псевдоевклидово), то получится скалярный 4-мерный оператор Д’Аламбера:

где  — метрический тензор, Δ — оператор Лапласа; используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся координатным индексам.

Ещё один способ обозначения 4-градиента — запятая перед координатным индексом. Так, если а — скаляр, то его 4-градиент

Скалярное произведение вектора 4-градиента (слева) на 4-вектор определяет 4-дивергенцию:

где  — контравариантные компоненты 4-вектора, а  — дивергенция.

Символ (и иногда ) используется также как ковариантная производная в криволинейных координатах:

где  — символы Кристоффеля. В декартовых координатах евклидового (псевдоевклидового) пространства символы Кристоффеля равны нулю и ковариантная производная совпадает с 4-градиентом. Ковариантная производная скаляра совпадает с 4-градиентом независимо от криволинейности координат:


Ссылки[править | править вики-текст]

  • S. Hildebrandt, «Analysis II» (Calculus II), ISBN 3-540-43970-6, 2003.
  • L. C. Evans, «Partial differential equations», A.M.Society, Grad. Studies Vol. 19, 1988.
  • J. D. Jackson, «Classical Electrodynamics» Chapter 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X.