Ковариантная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ковариантная производнаяобобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях. Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля T в направлении касательного вектора {\mathbf v} обычно обозначается \nabla_{\mathbf v}T.

Мотивация[править | править вики-текст]

Понятие ковариантной производной позволяет определить дифференцирование тензорных полей по направлению касательного вектора какого-либо многообразия. Подобно производной по направлению, ковариантная производная \nabla_{\bold u}{\bold v} в качестве аргументов принимает: (1) вектор \mathbf{u}, определенный в некоей точке P, и (2) векторное поле \mathbf{v}, определенное в окрестности P. Результатом является вектор \nabla_{\bold u}{\bold v}\left(P\right), так же определенный в P. Основное отличие от производной по направлению заключается в том, что \nabla_{\bold u}{\bold v} должна не зависеть от выбора системы координат.

Любой вектор может быть представлен как набор чисел, который зависит от выбора базиса. Вектор как геометрический объект не меняется при смене базиса, в то время как компоненты его координатного представления меняются согласно ковариантному преобразованию, зависящему от преобразования базиса. Ковариантная производная должна подчинятся этому же ковариантному преобразованию.

В случае евклидова пространства производная векторного поля зачастую определяется как предел разности двух векторов, определенных в двух близлежащих точках. В этом случае один из векторов можно переместить в начало другого вектора при помощи параллельного переноса, и затем произвести вычитание. Таким образом, простейшим примером ковариантной производной является покомпонентное дифференцирование в ортонормированной системе координат.

В общем же случае необходимо учесть изменение базисных векторов при параллельном переносе. Пример: ковариантная производная, записанная в полярных координатах двухмерного евклидова пространства, содержит дополнительные слагаемые, которые описывают "вращение" самой системы координат при параллельном переносе. В других случаях формула ковариантной производной может включать в себя члены, соответствующие сжатию, растяжению, кручению, переплетению, и прочим преобразованиям, которым подвержена произвольная криволинейная система координат.

В качестве примера, рассмотрим кривую \gamma\left(t\right), определенную на евклидовом плоскости. В полярных координатах кривая может быть выражена через полярные угол и радиус \gamma\left(t\right) = \big(r\left(t\right),\,\theta\left(t\right)\big). В произвольной момент времени t радиус-вектор может быть представлен через пару ({\mathbf e}_r, {\mathbf e}_{\theta}), где {\mathbf e}_r и {\mathbf e}_{\theta} – единичные вектора, касательные к полярной системе координат, которые образуют базис, служащий для разложения вектора на радиальную и касательную компоненты. При изменении параметра t возникает новый базис, который есть ни что иное как старый базис подвергнутый вращению. Данное преобразование выражается как ковариантная производная базисных векторов, так же известное как Символы Кристоффеля.

В криволинейном пространстве, каковым является, к примеру, поверхность Земли, не определен параллельный перенос, а соответствующая операция параллельного перенесения вектора из одной точки в другую зависит от выбора траектории. Действительно, представим вектор {\mathbf e}, определенный в точке Q (которая лежит на экваторе), и направленный к северному полюсу. Используя параллельное перенесение, сперва переместим вектор вдоль экватора не меняя его направления, затем поднимем {\mathbf e} вдоль какого-либо меридиана к северному полюсу, и опустим обратно к экватору вдоль другого меридиана. Очевидно, что такое перемещение вектора вдоль замкнутого пути на сфере изменит его ориентацию. Подобный феномен вызван кривизной поверхности глобуса, и не наблюдается в евклидовом пространстве. Он возникает на многообразиях при перемещении вектора вдоль любого (включая бесконечно малого) замкнутого контура, включающего в себя движение вдоль как минимум двух различных направлений. В таком случае, предел инфинитезимального приращение вектора является мерой кривизны многообразия.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Определение ковариантной проихводное не использует понятие метрики. При этом, для любого выбора метрики пространства существует единственная свободная от кручения ковариантная производная, называемая связностью Леви–Чивиты. Она определяется через условие: ковариантная производная от метрического тензора равна нулю.
  • Свойства производной подразумевают, что \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} зависит от произвольно малой окрестности точки P так же, как, к примеру, производная скалярной функции вдоль кривой в данной точке P зависит от бесконечно малой окрестности этой точки.
  • Информация, содержащаяся в окрестности точки P может быть использована для определения параллельного перенесения вектора. Так же, понятия кривизны, кручения, и геодезических линий могут быть введены используя только концепцию ковариантной производной и ее общения, такие как линейная связность.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Скалярные функции[править | править вики-текст]

Для скалярной функции f ковариантная производная {\nabla}_{\mathbf{v}} f совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля \mathbf{v}.

Векторные поля[править | править вики-текст]

Ковариантная производная \nabla векторного поля {\mathbf u} по направлению векторного поля {\mathbf v} , обозначаемая \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} определяется по следующим свойствам, для любого вектора \mathbf{v}, векторных полей \mathbf{u}, \mathbf{w} и скалярных функций f и g:

  1. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} линейно по отношению к {\mathbf v}, то есть \nabla_{f{\mathbf v}+g{\mathbf w}} {\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+g\nabla_{\mathbf w} {\mathbf u}
  2. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} аддитивно относительно {\mathbf u}, то есть \nabla_{\mathbf v}({\mathbf u}+{\mathbf w})=\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+\nabla_{\mathbf v} {\mathbf w}
  3. \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} подчиняется правилу произведения, то есть \nabla_{\mathbf v} f{\mathbf u}=f\nabla_{\mathbf v} {\mathbf u}+{\mathbf u}\nabla_{\mathbf v}f, где \nabla_{\mathbf v}f определено выше.

Замечание[править | править вики-текст]

Заметим, что \nabla_{\mathbf v} {\mathbf u} в точке p зависит только от значения \mathbf{v} в точке p и от значений \mathbf{u} в ее окрестности. В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение на каждом тензорном поле тензором является).

Ковекторные поля[править | править вики-текст]

Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) \alpha, его ковариантная производная \nabla_{\mathbf v}\alpha может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей \mathbf{u}

\nabla_{\mathbf v}(\alpha({\mathbf u}))=(\nabla_{\mathbf v}\alpha)({\mathbf u})+\alpha(\nabla_{\mathbf v}{\mathbf u}).

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля \mathbf{v} — тоже ковекторное поле.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

Тензорные поля[править | править вики-текст]

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (\varphi и {\psi} — произвольные тензоры):

\nabla_{\mathbf v}(\varphi\otimes\psi)=(\nabla_{\mathbf v}\varphi)\otimes\psi+\varphi\otimes(\nabla_{\mathbf v}\psi),

Если \varphi и \psi — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

\nabla_{\mathbf v}(\varphi+\psi)=\nabla_{\mathbf v}\varphi+\nabla_{\mathbf v}\psi.

Выражение в координатах[править | править вики-текст]

Пусть тензорное поле типа (p,q) задано своими компонентами {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}(\mathbf{x}) в некоторой локальной системе координат x^k, причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производная тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q+1), который определяется по формуле:

\nabla_\ell{T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} = \frac{\partial {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q}}{\partial x^\ell} + \sum_{k=1}^p {T^{i_1\ldots k\ldots i_p}}_{j_1 j_2\ldots j_q} \Gamma^{i_k} {}_{\ell k} - \sum_{m=1}^q {T^{i_1 i_2\ldots i_p}}_{j_1\ldots m\ldots j_q} \Gamma^{m} {}_{\ell j_m}

где \Gamma^{k} {}_{ij}символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей[править | править вики-текст]

Ковариантная производная векторного поля V^m\ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m {}_{k\ell} V^k.\

Ковариантная производная скалярного поля \varphi\ совпадает с частной производной,

\nabla_i \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^i}\

а ковариантная производная ковекторного поля \omega_m\ -

\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k {}_{\ell m} \omega_k.\

Для связности без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

\nabla_i\nabla_j \varphi = \nabla_j\nabla_i \varphi\

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0) A^{ik}\ равна

\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i {}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k {}_{m\ell} A^{im}, \

то есть

 A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i {}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k {}_{m\ell}. \

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

 A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i {}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m {}_{k\ell}, \

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2),

 A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m {}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m {}_{k\ell}. \

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.