Оператор Д’Аламбера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Оператор Д’Аламбера (оператор Даламбера, волновой оператор, даламбертиан) — дифференциальный оператор второго порядка

где  — оператор Лапласа,  — постоянная. Иногда оператор пишется с противоположным знаком.

Имеет в декартовых координатах вид:

позволяющий прямое обобщение на любую конечную размерность пространства, как больше, так и меньше трёх (такое обобщение носит также название оператора Д’Аламбера, с добавлением, если это не ясно из контекста, «-мерный»).

Назван по имени Ж. Д’Аламбера (J. D’Alembert, 1747), который рассматривал его простейший вид при решении одномерного волнового уравнения.

Применяется в электродинамике, акустике и других задачах распространения волн (преимущественно линейных). Оператор Д’Аламбера (соответствующей размерности) входит в волновое уравнение любой размерности, составляя его основу, а также в уравнение Клейна — Гордона — Фока.

Нетрудно видеть, что оператор Д’Аламбера есть обобщение оператора Лапласа на случай пространства Минковского.

Запись в криволинейных координатах[править | править вики-текст]

Оператор Д’Аламбера в сферических координатах:

в цилиндрических координатах:

в общих криволинейных координатах (для пространства-времени):

где  — определитель матрицы , составленный из коэффициентов метрического тензора .