Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция $\Lambda (n)$, равная $\ln p$, если $n=p^{m}$ — степень простого числа, в противном случае $\Lambda (n)=0$. Кратко:

$\Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,{\text{ if }}n=p^{m}\\0,{\text{ if }}n\neq p^{m}\end{cases}}$

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства

• Из определения следует, что

$\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n$

• С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

$\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d}}=-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d$

Связь с распределением простых чисел

• Связь с дзета-функцией Римана :$\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$
• $-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$
• Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

$\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1$

$-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1$

• $\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}\sim \ln x$
• $\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n}}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}}),$ где $\gamma$ — постоянная Эйлера
• Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

$\psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)$

• Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

${\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1$

Литература

• Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.