Подгруппа кручения

Подгру́ппа круче́ния — это подгруппа, образуемая множеством элементов конечного порядка в абелевой группе. Подгруппа кручения абелевой группы $A$ обозначается $\operatorname {Tor} \,A$. Подгруппой p-кручения $\operatorname {Tor} _{p}\,A$ называется множество всех элементов, порядок которых суть некоторая степень p. Подгруппы кручения и p-кручения группы определены однозначно. Любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму вида

$A\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \operatorname {Tor} \,A\simeq \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus \limits _{i}\operatorname {Tor} _{p_{i}}\,A$

где $p_{i}$ — простые числа. $\operatorname {Tor} _{p_{i}}\cong \mathbb {Z} _{p_{i}^{k_{i}}}^{+}$. Компоненты $\operatorname {Tor} _{p_{i}}$ являются примарными. Существует и другое разложение подгруппы кручения: $\operatorname {Tor} \,A\cong \mathbb {Z} _{u_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{u_{r}}$, где $u_{1}\mid u_{2},...,u_{r-1}\mid u_{r}$. Числа $u_{i}$ также определены однозначно и называются инвариантными множителями группы.

См. также

• Группа с кручением
• Кручение (алгебра)

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.