Подгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

  1. H содержит единичный элемент из G
  2. содержит произведение любых двух элементов из H,
  3. содержит вместе со всяким своим элементом h обратный к нему элемент h^{-1}.

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы G.
  • Сама G также является своей подгруппой.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
  • Сама группа G и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы G, все остальные ― собственными.
  • Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы некоторого непустого множества M, называется подгруппой, порождённой множеством M, и обозначается \langle M\rangle.
    • Если M состоит из одного элемента a, то \langle a\rangle называется циклической подгруппой элемента a.
    • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
  • Если группа G_1 изоморфна некоторой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G_1 может быть вложена в группу G.
  • Если H — подгруппа группы G, то для любого a\in G подмножество
    aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\}
является подгруппой. При этом подгруппы aHa^{-1} и H называются сопряжёнными.

Основные свойства[править | править вики-текст]

  • Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
  • Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
  • Непустое множество H\subset G является подгруппой группы G тогда и только тогда, когда для любых  a, b \in H выполняется ab^{-1} \in H.
  • Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы G является подгруппой группы G.
  • Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп H и K называется подгруппа, порожденная объединением множеств H\cup K.
  • Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
  • Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классы[править | править вики-текст]

Для подгруппы H и некоторого элемента a \in G, определяется левый смежный класс aH = \{ax: x \in H\}. Количество левых смежных классов подгруппы H называется индексом подгруппы Н в G и обозначается [G: H].

Литература[править | править вики-текст]