Подгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Подгруппа ― подмножество группы , само являющееся группой относительно операции, определяющей .

Подмножество группы является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

  1. содержит единичный элемент из
  2. содержит произведение любых двух элементов из ,
  3. содержит вместе со всяким своим элементом обратный к нему элемент .

В случае конечных и, вообще, периодических групп третье условие является следствием первых двух.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Подмножество группы , состоящее из одного элемента , будет, очевидно, подгруппой, и эта подгруппа называется единичной подгруппой группы .
  • Сама также является своей подгруппой.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Всякая подгруппа, отличная от всей группы, называется истинной подгруппой этой группы. Истинная подгруппа некоторой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе.
  • Сама группа и единичная подгруппа называется несобственными подгруппами группы , все остальные ― собственными.
  • Пересечение всех подгрупп группы , содержащих все элементы некоторого непустого множества , называется подгруппой, порождённой множеством , и обозначается .
    • Если состоит из одного элемента , то называется циклической подгруппой элемента .
    • Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп, называется циклической группой.
  • Если группа изоморфна некоторой подгруппе группы , то говорят, что группа может быть вложена в группу .
  • Если — подгруппа группы , то для любого подмножество
является подгруппой. При этом подгруппы и называются сопряжёнными.

Основные свойства[править | править вики-текст]

  • Пересечение подгрупп А и В также является подгруппой.
  • Все подгруппы образуют полную решетку по включению, называемую решеткой подгрупп.
  • Непустое множество является подгруппой группы тогда и только тогда, когда для любых выполняется
  • Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) подгрупп группы является подгруппой группы .
  • Теоретико-множественное объединение подгрупп, вообще говоря, не обязано являться подгруппой. Объединением подгрупп и называется подгруппа, порожденная объединением множеств .
  • Гомоморфный образ подгрупп ― подгруппа.
  • Если даны две группы и каждая из них изоморфна некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда ещё не следует изоморфизм самих этих групп.

Смежные классы[править | править вики-текст]

Для подгруппы H и некоторого элемента , определяется левый смежный класс . Количество левых смежных классов подгруппы H называется индексом подгруппы Н в G и обозначается [G: H].

Литература[править | править вики-текст]