Абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

А́белева (или коммутати́вная) гру́ппагруппа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа абелева, если для любых двух элементов .

Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком и называется сложением[1].

Название дано в честь норвежского математика Н. Абеля за его вклад в исследование групп подстановок.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
  • Любая циклическая группа абелева. Действительно, для любых и верно, что
    .
    • В частности, множество целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов
  • Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле вещественных чисел с операцией сложения чисел.
  • Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • По аналогии с размерностью у векторных пространств, каждая абелева группа имеет ранг. Он определяется как минимальная размерность векторного пространства над полем рациональных чисел, в которое вкладывается фактор группы по её кручению.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
    • Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
  • Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть  — натуральное число, а  — элемент коммутативной группы с операцией, обозначаемой +, тогда можно определить как ( раз) и .
  • Множество гомоморфизмов всех групповых гомоморфизмов из в само является абелевой группой. Действительно, пусть  — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма , заданная как , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если не является коммутативной группой).
  • Понятие абелевости тесно связанно с понятием центра группы — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы , и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Конечные абелевы группы[править | править вики-текст]

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка. изоморфно прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты.

Следовательно, можно записать абелеву группу в форме прямой суммы

двумя различными способами:

  • Где числа степени простых
  • Где делит , которое делит , и так далее до .

Например, может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Дифференциальной группой называется абелева группа , в которой задан такой эндоморфизм , что . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра  — циклами, элементы образа  — границами.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Абелева группа — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..