Эрмитова форма

Не следует путать с эрмитовой нормальной формой.

Эрмитова форма — естественный аналог понятия симметричной билинейной формы для комплексных векторных пространств. Для эрмитовых форм верны аналоги многих свойств симметрических форм: приведение к каноническому виду, понятие положительной определенности и критерий Сильвестра.

Определение

Эрмитова форма — это полуторалинейная форма $f(x,y)$ от двух векторов векторного пространства $V$ над полем $\mathbb {C}$ со значениями в этом поле, обладающая свойством симметричности :

$f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$

Таким образом, полный набор условий, определяющих эрмитову форму, состоит в следующем:

• $f(x_{1}+x_{2},y)=f(x_{1},y)+f(x_{2},y)\ \ \forall x_{i},y\in V,$
• $f(\alpha x,y)=\alpha f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$
• $f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \forall x,y_{i}\in V,$
• $f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} ,$
• $f(x,y)={\overline {f(y,x)}}\ \ \forall x,y\in V.$

Свойства

Из условия эрмитовой симметричности немедленно вытекает факт вещественности величины $f(x,x)$. При этом (вещественнозначная) функция $\phi (x)=f(x,x)$ на комплексном векторном пространстве V называется квадратично-эрмитовой. Имеет место и обратный факт, который может быть сформулирован как критерий того, что полуторалинейная форма является эрмитовой:

Теорема. Полуторалинейная форма $f(x,y)$ является эрмитовой тогда и только тогда, когда связанная с ней функция $\phi (x)$ принимает только вещественные значения.

В случае выполнения дополнительного условия

$f(x,x)>0\ \ \ \forall x\neq 0$

эрмитова форма f(x,y) и квадратично-эрмитова функция $\phi (x)$ называются положительно определёнными.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.