Билинейная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Пусть есть векторное пространство над полем (чаще всего рассматриваются поля и ).

Билинейной формой называется функция , линейная по каждому из аргументов:

,
,
,
,

здесь и

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение[править | править вики-текст]

В случае конечномерных пространств (например, ) чаще используется другое определение.

Пусть есть множество векторов вида где .

Билинейными формами называются функции вида

где а — некоторые константы из поля

Говоря другими словами, билинейная форма - это функция от двух групп по переменных, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных из каждой группы.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Билинейная форма называется симметричной, если для любых векторов .
  • Билинейная форма называется кососимметричной (антисимметричной), если для любых векторов .
  • Вектор называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству относительно , если для всех . Совокупность векторов , ортогональных подпространству относительно данной билинейной формы , называется ортогональным дополнением подпространства относительно и обозначается .
  • Радикалом билинейной формы называется ортогональное дополнение самого пространства относительно , то есть совокупность векторов , для которых при всех .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Множество всех билинейных форм , заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
  • Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
  • При выбранном базисе в любая билинейная форма однозначно определяется матрицей

так что для любых векторов и

то есть

  • Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
  • Размерность пространства есть .
  • Несмотря на то, что матрица билинейной формы зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы . Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен .
  • Для любого подпространства ортогональное дополнение является подпространством .
  • , где  — ранг билинейной формы .

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса[править | править вики-текст]

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе выражаются через координаты в новом через матрицу , или в матричной записи , то билинейная форма на любых векторах и запишется, как

,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

,

или, в матричной записи:

,
, где  — матрица прямого преобразования координат .

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom[править | править вики-текст]

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством , где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, , то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из в двойственное пространство . Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как B1(v) = B(v, ⋅), B2(v) = B(⋅, v).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.