Унивалентный функтор

В теории категорий унивалентный функтор (соотв. полный функтор) — это функтор, который инъективен (соотв. сюръективен) на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом.

Более явно, пусть у нас есть локально малые категории C и D и пусть F : C → D — функтор из C в D. Этот функтор индуцирует функцию

$F_{X,Y}\colon \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$

для каждой пары объектов X и Y из C. Функтор F называется

• унивалентным (или строгим), если функция F_X,Y инъективна
• полным, если F_X,Y сюръективна
• вполне унивалентным (или полным и унивалентным), если F_X,Y биективна

для каждых X и Y в C.

Свойства

• Унивалентный функтор не обязательно инъективен на объектах категории C, поэтому образ вполне унивалентного функтора не обязан быть категорией, изоморфной C. Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне унивалентный функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если F : C → D является вполне унивалентным и $F(x)\cong F(y)$, то $x\cong y$ (в этом случае говорят, что функтор F отражает изоморфизмы).
• Любой унивалентный функтор отражает мономорфизмы и эпиморфизмы. Из этого следует, что любой унивалентный функтор из сбалансированной категории отражает изоморфизмы.

Примеры

• Забывающий функтор U : Grp → Set является унивалентным, так как гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. Категория со строгим функтором в Set называется конкретной категорией.
• Функтор, вкладывающий Ab в Grp вполне унивалентен.

См. также

• Полная подкатегория
• Эквивалентность категорий

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.