Банаховы пределы

Линейный функционал $\mathrm {\mathrm {B} } \in l_{\infty }^{*}$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $B(\mathbf {1} )=1$

2) $B\geq 0$ для любых $x\geq 0$

3) $B(Tx)=B(x)$ для любого $x\in l_{\infty }$ , где $T$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: $T(x_{1},x_{2},x_{3},...)=(x_{2},x_{3},...)$

Существование таких пределов было доказано Стефаном Банахом. Из определения следует, что $\|B\|_{l_{\infty }^{*}}=1$ и $B(x_{1},x_{2},...)=\lim _{n\to \infty }x_{n}$, если последовательность $x_{1},x_{2},...$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как ${\mathfrak {B}}$. ${\mathfrak {B}}$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства $l_{\infty }^{*}$. Из неравенства треугольника следует, что для любых $B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}$ справедливо неравенство $\|B_{1}-B_{2}\|\leq 2$. Если $B_{1}$ и $B_{2}$ являются крайними точками множества ${\mathfrak {B}}$, то $\|B_{1}-B_{2}\|=2$.

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если $B_{1}(x)\leq B_{2}(x)\quad \forall x\in l_{\infty }\quad x\geq 0$, то $B_{1}(x)=B_{2}(x)$ .

Доказательство

Если $B_{1}(u)\leq B_{2}(u)$ для какого-то $u\in l_{\infty }\quad u\geq 0\quad \Rightarrow \quad \forall \lambda >0\quad u\neq 0\quad B_{1}(\lambda u)<B_{2}(\lambda u)$ . Возьмём $0<\lambda <{\frac {1}{\|u\|}}\quad \Rightarrow \quad 0\leq \lambda u\leq \mathbf {1} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {1} -\lambda u\geq 0$ , $B_{1}(\mathbf {1} -\lambda u)=1-B_{1}(\lambda u)>1-B_{2}(\lambda u)=B_{2}(\mathbf {1} -\lambda u)$

Получаем противоречие, которое доказывает лемму.

Теорема 1

Функционал $f\in l_{\infty }^{*}$ можно представить в виде $f=B_{1}-B_{2}$ ($B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {B}}$) тогда и только тогда, когда

1. $f(Tx)=f(x)$ для всех $x\in l_{\infty }$
2. $f(\mathbf {1} )=1$
3. $\|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 2$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы $\|f\|_{l_{\infty }^{*}}=2$ .

Доказательство

Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

$g=\max(f,0)=\sup _{0\leq u\leq x}f(u)\quad g\in l_{\infty }^{*}\quad g\geq 0\quad \forall x\leq 0$

Используя свойства 1.—3. получаем:

$g(\mathbf {1} )=\sup _{0\leq u\leq \mathbf {1} }f(u)=\sup _{0\leq u+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \leq \mathbf {1} }f(u+{\frac {1}{2}}\mathbf {1} )=\sup _{-{\frac {1}{2}}\mathbf {1} \leq u\leq {\frac {1}{2}}\mathbf {1} }(f(u)+{\frac {1}{2}}f(\mathbf {1} ))=\sup _{\left|u\right|\leq {\frac {1}{2}}\mathbf {1} }f(u)={\frac {1}{2}}\|f\|_{l_{\infty }^{*}}\leq 1$ Для $B\in {\mathfrak {B}}$ справедливо, что $B_{1}=g+(1-{\frac {\|f\|}{2}})B\geq 0\qquad B_{1}(Tx)=B_{1}(x)\qquad B_{1}(\mathbf {1} )=1$,

значит $B_{1}$ — банахов предел. То же самое верно для функционала $B_{2}=B_{1}-f=g-f+(1-{\frac {\|f\|}{2}})B$. По построению $B_{1}-B_{2}=f$. Докажем единственность такого представления при $\|f\|=0$. Пусть $f=B_{1}-B_{2}$ при $\|f\|=0$.

$B_{1}=f+B_{2}\quad B_{2}=f-B_{1}$
$B_{1}\geq 0\quad B_{1}\geq 0\Rightarrow B_{1}\geq f\quad B_{2}\geq f$
$B_{1}\geq \max(f,0)\quad B_{2}\geq \max(-f,0)$

Выше доказано, что $max(f,0)\in {\mathfrak {B}}$, аналогичные рассуждения показывают, что $max(-f,0)\in {\mathfrak {B}}$. По лемме 1 получаем

$B_{1}=\max(f,0)\quad B_{2}=\max(-f,0)$

Теорема доказана.

Понятие почти сходимости

Для заданных $a\in \mathbb {R} ^{1}$ , $x\in l_{\infty }$, для любых $\mathrm {\mathrm {B} } \in {\mathfrak {B}}$

$B(x)=a\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}=a$

равномерно по $m\in \mathbb {N}$ . Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образом:

$\lim _{n\to \infty }\inf _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}\leq B(x)\leq \lim _{n\to \infty }\sup _{m\in \mathbb {N} }{\frac {1}{n}}\sum _{k=m+1}^{m+n}x_{k}$

Последовательность $x\in l_{\infty }$ называется почти сходящейся к числу $a\in \mathbb {R} ^{1}$, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны $a$. Используется следующее обозначение: $Lim\,x_{k}=a$. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение $ac$. $ac$ — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в $l_{\infty }$ . Множество почти сходящихся к числу $s$ последовательностей обозначается как $ac_{s}$. Ясно, что $ac_{s}\subset ac$ для любого $s$ .

Пример

Последовательность $x=(1,0,1,0,...)$ не имеет обычного предела, но $Lim\,x={\frac {1}{2}}$ . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: $x_{k}=1-x_{k+1}$ .

$Lim\,x_{k}=Lim\,(\mathbf {1} -x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_{k}$

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду .

Характеристические функции

Системой Радемахера называется последовательность функций

$r_{n}(t)=\operatorname {sgn} \sin(2^{n}\pi t)\quad n\in \mathbb {N} \quad t\in [0,1]$

Каждому $B\in {\mathfrak {B}}$ можно поставить в соответствие функцию

$f_{B}(t)=B(r_{n}(t))$

которая называется характеристической функцией банахова предела $B$. $f_{B}$ — комплекснозначная функция.

Теорема 2

Если $A,B\in {\mathfrak {B}}$ и $f_{A}(t)\leq f_{B}(t)$ для всех $t\in (0,1)$ , то $A=B$ для всех $x\in l_{\infty }$ .

Свойства характеристических функций

Пусть $A,B\in {\mathfrak {B}}$ , тогда

1. $f_{B}(t)$ периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из $(0,1)$
2. $f_{B}(t)=f_{B}({\frac {t}{2}})$ для любых $t\in (0,1)$
3. $\forall \lambda \in [0,1]\,\exists \,x\in 2^{\mathbb {N} }\cap ac$ , что $B(x)=\lambda$ для любого $B\in {\mathfrak {B}}$ и $Im\,f_{B}=[-1,1]$
4. график $f_{B}$ плотен в прямоугольнике $[0,1]\times [-1,1]$
5. $f_{B}(t)+f_{B}(1-t)=0$ для всех $t\in (0,1)$

Литература

• Стефан Банах. Théorie Opérations Linéaires. — Варшава, 1932.
• Е.М. Семёнов, Ф.А. Сукочёв. Характеристические функции банаховых пределов (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2010. — Т. 51, № 4.
• E.Semenov and F.Sukochev. Extreme points of the set of banach limits (англ.).
• Lorentz G.G. Contribution to the theory of divergent sequences. — Acta Math, 1948. — С. 167-190. (англ.)
• Усачёв А.А. Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы / Е.М. Семёнов. — Воронеж: ВГУ, 2009. — 93 с.
• Sucheston L. Banach limits (англ.) // Amer. Math. Monthly. — 1967. — Vol. 74, no. 3. — P. 308—311. (англ.)