Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.
Если функция
имеет производную в точке
, а функция
имеет производную в точке
, то сложная функция
также имеет производную в точке
.
Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
Тогда их композиция также дифференцируема:
и её производная имеет вид:
![{\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dc8f2f843e0d9a7750915f7383e439e11315e)
Замечание
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции
где
принимает следующий вид:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f757eb9bde95ba67010d26c9d5ef9611df2a5f06)
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции
в точке
имеет вид:
![{\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c1421868a4eb32a0fbab55f8c5aa068b6d2a94)
где
— дифференциал тождественного отображения
:
![{\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72eb7e91e873cd9a8244238910aa92648d4ee6)
Пусть теперь
Тогда
, и согласно цепному правилу:
![{\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbb2e5b075435fbc81d646265677a4d96c48c58)
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Пример
Пусть
Тогда функция
может быть записана в виде композиции
где
![{\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374df0c3ad0a6d0da016b310c02bb3a6d0969557)
![{\displaystyle g(y)=y^{7}.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74c463beec2fe4839087283c96e1a0d6efcc246)
Дифференцируя эти функции отдельно:
![{\displaystyle f'(x)=6x-5,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215881d350b9cd4806b476994098b7960aaac27b)
![{\displaystyle g'(y)=7y^{6},\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7073d444c51e1bca2d44fc352507b19414606da)
получаем
![{\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49e5cf39bdcf9ddb716ab45129b8aa6f254637c)
Многомерный случай
Пусть даны функции
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
и
Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
.
В частности, матрица Якоби функции
является произведением матриц Якоби функций
и
![{\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1904279bc28e52eb9d78e30b7e5d87cceb92971b)
Следствия
- Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
![{\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{n})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074388b56bac9d4b98d1e243ac2a8a9552b941a)
Для частных производных сложной функции справедливо
![{\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3517bfefcc76e7d7b1cec8a4b354437f2b12f46c)
Пример
Пусть дана функция трёх переменных
и требуется найти её частную производную по переменной
. Функция
может быть записана как
где
![{\displaystyle f(u,v,w)=u+v^{2}+w,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f8486f137460f0fcf4f059fc024a3b314dbcb7)
![{\displaystyle u(x,y,z)=\sin x,\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88751c2217e27de3b24843ff7e312c3b33e96f14)
![{\displaystyle v(x,y,z)=\cos(x+y+z),\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce68a138ab8978d61834bd202b59458a765eb04e)
![{\displaystyle w(x,y,z)=-{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9c772a2f98f016f4015921043aa48c348d4cc9)
Тогда частная производная функции
по переменной
будет иметь следующий вид:
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05be832fc583295c10b9bfa431514f880532ceb3)
Вычисляем производные:
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial u}}=1,\;{\frac {\partial f}{\partial v}}=2v,\;{\frac {\partial f}{\partial w}}=1,\;{\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x,\;{\frac {\partial v}{\partial x}}=-\sin(x+y+z),\;{\frac {\partial w}{\partial x}}=-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e93bfd6419708d8bb3bc5088f43bfba8cbf4af1)
Подставляем найденные производные:
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=1\cdot \cos x\quad +\quad 2\cdot {\Bigl (}\cos(x+y+z){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}-\sin(x+y+z){\Bigl )}\quad +\quad 1\cdot \left(-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f128dd42bae4899de9194996b78f703d5fea2c2c)
В итоге
![{\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}=\cos x-\sin(2x+2y+2z)-{\frac {2x}{\sqrt {2x^{2}+5y^{3}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0149af52646fb9e2aa1c204d353b294af51b87)
См. также