Формула Фаа-ди-Бруно

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Фаа ди Бруно является обобщением формулы дифференцирования сложной функции на производные более высоких порядков. Она была названа в честь итальянского математика и священника Франческо Фаа-ди-Бруно, благодаря которому она стала известна (примерно 1855), хотя реально первооткрывателем этой формулы является Луи Франсуа Антони Арбогаст, который более чем за 50 лет до Фаа ди Бруно сделал первые публикации[1] на эту тему.

Возможно, наиболее известна формула Фаа ди Бруно в следующем виде:

где сумма по всем кортежам длины n из неотрицательных целых чисел (m1, …, mn), удовлетворяющих ограничению:

Иногда, для лучшего запомнинания, формула записывается в следующем виде, однако это снижает очевидность комбинаторной интерпретации:

Суммируя члены с фиксированным значением m1 + m2 + … + mn = k и заметив, что m j должен быть равен нулю при j > n − k + 1 можно прийти к несколько более простой формуле, выраженной через полиномы Белла Bn,k(x1, …,xnk+1):

Комбинаторная форма[править | править вики-текст]

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

где

  • π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },
  • "B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и
  • |A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).

Пример[править | править вики-текст]

Комбинаторный вид формулы может первоначально показаться сложным, поэтому рассмотрим конкретный случай:

Все действия выполняются по следующем образцу:

Множитель очевидным образом соответствует разбиению 2 + 1 + 1 числа 4 (порядок производной). Его сомножитель показывает, что имеется три слагаемых в этом разбиении. Наконец, коэффициент 6 означает, что существует ровно шесть разбиений множества из 4-х элементов, в которых одна часть содержит два элемента и две части — по одному.

По аналогии, множитель в третьей строке соответствует разбиению 2 + 2 числа 4, а указывает на то, что в этом разбиении должно два слагаемых . Коэффициент 3 говорит, что есть только способа разбить 4 элемента на группы размера 2.

Остальные члены формулы интерпретируется аналогично.

Комбинаторная интерпретация коэффициентов[править | править вики-текст]

Коэффициенты формулы Фаа ди Бруно можно выразить в замкнутом виде. Количество разбиений множества размера n, соответствующих разбиению числа n:

равно

Эти коэффициенты также возникают в полиномах Белла, которые имеют отношение к изучению кумулянтов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Arbogast L.F.A. Du calcul des derivations. — Levrault, 1800.

Ссылки[править | править вики-текст]