Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов . Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона . Изучаются в средней школе в курсе алгебры .
(
a
±
b
)
2
=
a
2
±
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}
Каждая разница двух квадратов может быть представлена в виде произведения по формуле:
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}
Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
и остаётся
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.
Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце .
Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b , то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}
Чтобы это было равно
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
для всех пар a , b , поэтому R коммутативно.
(
a
±
b
)
3
=
a
3
±
3
a
2
b
+
3
a
b
2
±
b
3
{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
a
2
b
+
3
a
2
c
+
3
a
b
2
+
3
a
c
2
+
3
b
2
c
+
3
b
c
2
+
6
a
b
c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}
(
a
±
b
)
4
=
a
4
±
4
a
3
b
+
6
a
2
b
2
±
4
a
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
a
4
+
b
4
=
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})}
n -й степени
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
.
.
.
+
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
a
2
n
−
b
2
n
=
(
a
+
b
)
(
a
2
n
−
1
−
a
2
n
−
2
b
+
a
2
n
−
3
b
2
−
.
.
.
−
a
2
b
2
n
−
3
+
a
b
2
n
−
2
−
b
2
n
−
1
)
{\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
a
2
n
−
b
2
n
=
(
a
n
+
b
n
)
(
a
n
−
b
n
)
{\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
a
2
n
+
1
+
b
2
n
+
1
=
(
a
+
b
)
(
a
2
n
−
a
2
n
−
1
b
+
a
2
n
−
2
b
2
−
.
.
.
+
a
2
b
2
n
−
2
−
a
b
2
n
−
1
+
b
2
n
)
{\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
+
∓
1
+
3
i
2
b
)
(
a
+
∓
1
−
3
i
2
b
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)}
a
4
−
b
4
=
(
a
+
b
)
(
a
+
i
b
)
(
a
−
b
)
(
a
−
i
b
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(a-b)(a-ib)}
a
4
+
b
4
=
(
a
+
1
+
i
2
b
)
(
a
+
−
1
+
i
2
b
)
(
a
+
−
1
−
i
2
b
)
(
a
+
1
−
i
2
b
)
{\displaystyle a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i}{\sqrt {2}}}b\right)}
Для произвольной чётной степени:
a
n
±
b
n
=
∏
(
a
+
∓
1
n
b
)
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}
∓
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}
n возможных значенийДля произвольной нечётной степени:
a
n
±
b
n
=
∏
(
a
+
±
1
n
b
)
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}
±
1
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}
n возможных значений
(
a
−
b
)
2
n
=
(
b
−
a
)
2
n
{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
(
a
−
b
)
2
n
+
1
=
−
(
b
−
a
)
2
n
+
1
{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e4da5250e641a468b13f6ac979bcfee4dfe597)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aa4fd3d4ca7fc06361f10bcf082f6f9976ba97)
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1aef94695adad8259ef203dc8fb2e470173165)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59840e2723a85f62bb59759ca056ea1f2e3b722)
