Факторалгебра

Эта статья — о конструкции для алгебр над полем. О факторалгебре в универсальной алгебре см. факторсистема.

Факторалгебра — понятие в общей алгебре, определяемое следующим образом.

Пусть $\mathrm {A}$ — алгебра над полем $\mathrm {K}$ и $\mathrm {J}$ — двусторонний идеал в алгебре $\mathrm {A}$. Рассматривая алгебру $\mathrm {A}$ как кольцо, определим факторкольцо $\mathrm {A} /\mathrm {J}$, которое можно превратить в алгебру над $\mathrm {K}$, если определить в ней умножение на элементы поля $\mathrm {K}$ по следующему правилу:

$k(a+\mathrm {J} )=ka+\mathrm {J} ,\quad \forall k\in \mathrm {K} ,\ \forall a\in \mathrm {A}$.

Построенная таким образом алгебра $\mathrm {A} /\mathrm {J}$ называется факторалгеброй алгебры $\mathrm {A}$ по идеалу $\mathrm {J}$.

Пример

Важный пример факторалгебры (в алгебре формальных степенных рядов от нескольких переменных) связан с определением кратности критической точки гладкой функции.

Связанные определения

Каноническим гомоморфизмом для алгебры $\mathrm {A}$, связанным с данным идеалом $\mathrm {J}$, для которого определена факторалгебра $\mathrm {A} /\mathrm {J}$, называется гомоморфизм $\mathrm {A} \to \mathrm {A} /\mathrm {J}$ с ядром $\mathrm {J}$, определённый формулой $a\mapsto a+\mathrm {J} ,\ \,\forall a\in \mathrm {A}$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.