Факторкольцо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть I — двусторонний идеал кольца R. Определим на R отношение эквивалентности:

a\sim b тогда и только тогда, когда a-b\in I.

Класс эквивалентности элемента a обозначается как [a] или a+I и называется классом смежности по модулю идеала. Факторкольцо R/I — это множество классов смежности элементов R по модулю I, на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I
(a+I)\cdot (b+I)=ab+I

Легко проверить, что эти операции определены корректно, то есть не зависят от выбора конкретного представителя a класса смежности a+I. Например, корректность умножения проверяется следующим образом: пусть a_2=a+i_1,b_2=b+i_2,\; i_{1,2}\in I. Тогда a_2b_2=(a+i_1)(b+i_2)=ab+i_1b+ai_2+i_1i_2\in ab+I. В последнем шаге доказательства использовалась замкнутость идеала относительно умножения на элемент кольца (как слева, так и справа) и замкнутость относительно сложения.

Связанные теоремы[править | править исходный текст]

  • Теорема о гомоморфизме колец:
Если f — сюръективный гомоморфизм кольца \mathrm{K} на кольцо \mathrm{R}, то ядро \ker\,f является идеалом кольца \mathrm{K}, причём кольцо \mathrm{R} изоморфно факторкольцу \mathrm{K}/\ker\,f.
Обратно: если \mathrm{J} — идеал кольца \mathrm{K}, то отображение f: \mathrm{K}\to\mathrm{K/J}, определяемое условием f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K} является гомоморфизмом кольца \mathrm{J} на \mathrm{K/J} с ядром \mathrm{J}.
Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Пусть \mathbb Z — кольцо целых чисел, n\mathbb Z — идеал, состоящий из чисел, кратных n. Тогда \mathbb Z/n\mathbb Z — кольцо вычетов по модулю n.
  • Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами \mathbb R[x] и идеал, состоящий из многочленов, кратных x^2+1. Факторкольцо \mathbb R[x]/(x^2+1) изоморфно полю комплексных чисел: класс [x] соответствует мнимой единице. Действительно, в факторкольце элементы x^2+1 и 0 эквивалентны, то есть x^2=-1.
  • Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используют для построения расширений полей. Пусть K — некоторое поле и f(x) — неприводимый многочлен в K[x]. Тогда K[x]/(f(x)) является полем, и это поле содержит по крайней мере один корень многочлена f(x) — класс смежности элемента x.
  • Важный пример использования предыдущей конструкции — построение конечных полей. Рассмотрим конечное поле \mathbb Z/2\mathbb Z из двух элементов и в этом контексте обычно обозначается как \mathbb F_2. Многочлен x^2+x+1 неприводим над этим полем (так как не имеет корней), следовательно, факторкольцо \mathbb F_2[x]/(x^2+x+1) является полем. Это поле состоит из четырёх элементов: 0, 1, x и x+1. Все конечные поля можно построить аналогичным образом.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
  • М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля (в двух томах). — М.: Мир, 1988. — 430 с.