h-принцип

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Возможность вывернуть сферу наизнанку является одним из проявлений h-принципа

H-принцип (читается аш-принцип) — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Теория оформилась в работах Элиашберга, Громова и Филлипса.

Основанием послужили более ранние результаты, в которых решение дифференциальных соотношений сводилось к гомотопии, в частности в задачах о погружениях.

Первые идеи h-принципа появились в теореме Уитни — Грауштайна[en], парадоксе выворачивания сферы, теореме Нэша — Кёйпера и теореме Смейла — Хирша.

Примерное представление[править | править код]

Предположим, мы хотим найти функцию на , которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных степени в координатах . Это уравнение можно записать как

где означает все частные производные до степени . Вместо каждой переменной в подставим независимую переменную Наше исходное уравнение можно рассматривать как систему

и некоторое количество уравнений следующего типа

Решение уравнения

называется формальным или неголономным решением, решение системы (которое является решением нашего первоначального уравнения) называется голономным решением.

Для существования голономного решения необходимо существование  неголономного решения. Обычно последнее довольно легко проверить, и если его нет, то наше исходное уравнение не имеет решений.

Говорят, что уравнение в частных производных удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение может быть продеформировано в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при выполнении h-принципa, дифференциальнo-топологическая задача сводится к алгебраической и топологической задаче. Более конкретно это означает, что кроме топологических, нет других препятствий для существования голономных решений. Топологическая проблема поиска неголономных решение обычно намного проще.

Многие недоопределенные дифференциальные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу.

Невыполнение h-принципа для определённого уравнения — тоже интересное утверждение, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Примером служат лагранжевы вложения в симплектическое многообразие; они не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, используют инварианты на основе псевдо-голоморфных кривых.

Простейший пример[править | править код]

Рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение машины на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами и (например, пусть эти координаты задают положение средней точки между задними колёсами) и углом , который описывает ориентацию автомобиля. В движении автомобиль удовлетворяет уравнению

предполагая, что автомобиль двигается без заноса.

Неголономное решение в данном случае соответствует движению автомобиля за счет скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также они сколь угодно хорошо аппроксимируются голономными (этого можно добиться движением взад-вперед, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) — обратите внимание, что при этом и положение и направление автомобиля аппроксимируются сколь угодно близко. Последнее свойство сильнее, чем общий h-принцип; оно называется -плотный h-принцип.

Приложения[править | править код]

Здесь перечислены несколько контринтуитивных результатов, которые можно доказать применением h-принципа:

  • Выворачивание конуса.[1] Рассмотрим функцию f на R2 без начала координат, . Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций таких, что , , и для любого градиент отличен от нуля в любой точке.
  • Любое открытое многообразие допускает (не полную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.
  • Выворачивание сферы без складок или разрыва может быть проделано, используя только изометрические вложения сферы.

Примечания[править | править код]

  1. Лекция 27 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.

Литература[править | править код]

  • Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. Введение в h-принцип. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3.
  • Громов М. Дифференцальные соотношения с частными производными. — М.: Мир. — ISBN 5-03-001297-4.
  • Н. Х. Кёйпер, О C1-изометрических вложениях // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 17—28.
  • Дж. Нэш, C1-изометрические вложения // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 3—16.
  • M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
  • S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)
  • David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998