J-гомоморфизм

J-гомоморфизм — гомоморфизм из гомотопических групп $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$ специальных ортогональных групп в гомотопические группы сфер. Он был определен Джорджем Уайтхедом как обобщение конструкции Хайнца Хопфа, который построил этот гомоморфизм для случая $r=q+1$.

Построение

J-гомоморфизм есть гомоморфизм абелевых групп

$J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),$

определённый для всех целых чисел $r,q\geqslant 2$.

Элемент специальной ортогональной группы $\mathrm {SO} (q)$ можно рассматривать как отображение

$\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.$

Значит, элементам гомотопической группы $\pi _{r}(\mathrm {SO} (q))$ сопоставляется гомотопический класс отображения

$\mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.$

Применение к этому конструкции Хопфа даёт отображение

$\mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow S(\mathbb {S} ^{q-1})=\mathbb {S} ^{q},$

гомотопический класс которого есть образ этого элемента при J-гомоморфизме.