Артинов модуль

Артинов модуль — модуль над кольцом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей. Символически, модуль $M$ артинов, если всякая последовательность его подмодулей:

$M_{1}\supset M_{2}\supset \ldots \supset M_{i}\supset \ldots$

стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$ выполнено:

$M_{n}=M_{n+1}=\ldots$.

Это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей $M$ существует минимальный элемент.

Если $M$ — артинов, то любой его подмодуль и любой его фактормодуль артиновы. Обратно, если подмодуль $N\subset M$ и фактормодуль $M/N$ артиновы, то и сам модуль $M$ артинов.

Названы в честь Эмиля Артина, наряду с подобными общеалгебраическими структурами с условиями обрыва убывающих цепей (артинова группа, артиново кольцо), и двойственными «нётеровым» структурам с условием обрыва возрастающих цепей (нётеров модуль, нётерова группа, нётерово кольцо). В частности, ассоциативное кольцо $A$ с единичным элементом называется артиновым, если оно является артиновым $A$-модулем (удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.