Артиново кольцо

А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов $p_{1}\supset p_{2}\supset \dots \supset p_{n}\supset \dots$ стабилизируется, то есть начиная с некоторого $n$

$p_{n}=p_{n+1}=\ldots$

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца. Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно теореме Хопкинса-Левицкого любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

Примеры

• Артинова область целостности является полем.
• Кольцо с конечным числом идеалов (в частности, конечное кольцо) является артиновым.
• Если I — ненулевой идеал в дедекиндовом кольце, то факторкольцо по I является артиновым кольцом главных идеалов.
• Для любого $n\geq 1$ полное кольцо матриц $M_{n}(R)$ над левым артиновым (соотв. левым нётеровым) кольцом R является левым артиновым (соотв. левым нётеровым).

Коммутативные артиновы кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны:

• A артиново;
• A — конечное произведение артиновых локальных колец;
• Размерность A равна нулю;
• Спектр A является дискретным.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
• Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968
• Cohn, Paul Moritz. Basic algebra: groups, rings, and fields (англ.). — Springer, 2003. — ISBN 978-1-85233-587-8.