Боковое давление грунта

Боковое давление грунта (англ. Lateral earth pressure)— давление, оказываемое грунтом в горизонтальном направлении.

Номенлатура символов

В этой статье следующие переменные в уравнениях определяются следующим образом:

β

Угол откоса, измеренный по отношению к горизонтали

дельта

Угол трения о стену

θ

Угол стены, измеренный к вертикали

ф

Угол трения напряжения грунта

ф'

Эффективный угол трения напряжения грунта

φ'_cs

Эффективный угол трения напряжения в критическом состоянии

Коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя K₀= 1 - \sin \phi'

Боковое давление грунта в естественной среде в состоянии покоя - произведение напряжения вскрышных пород, умноженное на Коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя K₀. K₀ можно получить различными способами в зависимости от модели грунта , а также:

1. в полевых условиях на основе, например, дилатометрического теста (DMT) или скважинного прессометрического теста (PMT)
2. аналитически используя данные лабораторных испытаний по формуле Джеки $K_{0(NC)}=1-\sin \phi '$. Формула Джеки считается применимой для рыхло отложенных песков, нормально сцементированных зернистых отложений и нормально сцементированных глин. С теоретической точки зрения формула $1-\sin \phi '$ идеально работает для двух крайних значений $\phi '$, где для $\phi '$ = 0 дает $K_{0}=1$ относится к гидростатическим условиям и для $\phi '$ = 90 ^o (теоретическое значение) дает $K_{0}=0$ относится к фрикционному материалу, который может стоять вертикально без поддержки, таким образом, не оказывая бокового давления. Эти крайние случаи являются достаточным доказательством того, что правильным выражением для коэффициента давления грунта в состоянии покоя является $K_{0}=1-\sin \phi '$ . Hекоторые исследователи заявляют, что слегка изменённые формы уравнения Джеки лучше соответствуют их данным. Однако, хотя некоторые из этих модификаций приобрели большую популярность, они не обеспечивают более точной оценки $K_{0}$ . Например, Брукер и Айрленд $K_{0}=0.95-\sin \phi '$ основывается на лабораторном определении $K_{0}$ только пяти образцов, в то время как эффективный угол сопротивления сдвигу трех из них был получен из литературы, не имея на них никакого контроля. Более того, уточнения порядка нескольких процентных пунктов скорее подтверждают справедливость $K_{0}=1-\sin \phi '$ выражение, чем превосходство изысканного выражения.Для сверхконсолидированных почв Мейн и Кулхави предлагают следующее выражение: $K_{0(OC)}=K_{0(NC)}*OCR^{(\sin \phi ')}\$. Формула требует определения профиля OCR с глубиной. OCR — коэффициент переуплотнения и $\phi '$ — эффективный угол трения напряжений.
3. в российских источниках Коэффициент бокового давления грунта принято находить через Коэффициент Пуассона

Коэффициенты давления грунта Ренкина и расширение Белла для связных грунтов

Основная статья: Теория Ренкина

Теория Ренкина дает решение поля напряжений, которое предсказывает активное и пассивное давление грунта. Для грунтов со сцеплением Белл разработал аналитическое решение, которое использует квадратный корень из коэффициента давления для прогнозирования вклада сцепления в общее результирующее давление. Эти уравнения представляют общее боковое давление грунта. Первый член представляет несвязный вклад, а второй член — связный вклад. Первое уравнение относится к условию активного давления грунта, а второе — к условию пассивного давления грунта.

$\sigma _{a}=K_{a}\sigma _{v}-2c'{\sqrt {K_{a}}}\$ (или $\sigma _{a}=K_{a}(q+\gamma *z)-2c'{\sqrt {K_{a}}}\$ в соответствии с СП 13330.2011)

$\sigma _{p}=K_{p}\sigma _{v}+2c'{\sqrt {K_{p}}}\$

что c' и φ' эффективное сцепление и угол сопротивления грунта сдвигу соответственно. Для связных грунтов глубина трещины растяжения (относительно активного состояния) составляет:$$z_{tc}={\frac {2c'}{\gamma \tan {(45^{o}-\phi '/2)}}}$$

$K_{a}=\cos \beta {\frac {\cos \beta -{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}{\cos \beta +{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}}$

$K_{p}=\cos \beta {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}{\cos \beta -{\sqrt {\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '}}}}$

с горизонтальными составляющими давления грунта:

$\sigma _{a}=K_{a}\gamma z\cos \beta$

$\sigma _{p}=K_{p}\gamma z\cos \beta$

где β — угол наклона засыпки.

Коэффициенты давления земли Кулона

Mayniel (1908) расширил уравнения Кулона для учёта сил трения о стенку δ. Мюллер-Бреслау (1906 г.) дополнительно обобщил уравнения Майниеля для негоризонтальной засыпки и невертикальной поверхности раздела грунт-стена (представленной углом θ от вертикали).

$K_{a}={\frac {\cos ^{2}\left(\phi '-\theta \right)}{\cos ^{2}\theta \cos \left(\delta +\theta \right)\left(1+{\sqrt {\frac {\sin \left(\delta +\phi '\right)\sin \left(\phi '-\beta \right)}{\cos \left(\delta +\theta \right)\cos \left(\beta -\theta \right)}}}\ \right)^{2}}}$

$K_{p}={\frac {\cos ^{2}\left(\phi '+\theta \right)}{\cos ^{2}\theta \cos \left(\delta -\theta \right)\left(1-{\sqrt {\frac {\sin \left(\delta +\phi '\right)\sin \left(\phi '+\beta \right)}{\cos \left(\delta -\theta \right)\cos \left(\beta -\theta \right)}}}\ \right)^{2}}}$

Обычно вместо K _a в таблицу заносят горизонтальную часть K _ah . Это то же самое, что K умножить _на cos(δ+θ).

Фактическая сила давления грунта E _a представляет собой сумму части E _ag из-за веса земли, части E _ap из-за дополнительных нагрузок, таких как движение транспорта, минус часть E _ac из-за любого имеющегося сцепления.

E _ag представляет собой интеграл давления по высоте стены, равный K _, умноженный на удельный вес земли, умноженный на половину квадрата высоты стены.

В случае равномерной нагрузки от давления на террасу над подпорной стеной, E _ap равно этому давлению, умноженному на K _a, умноженному на высоту стены. Это применимо, если терраса горизонтальная или стена вертикальная. В противном случае E _ap необходимо умножить на cos θ cosβ / cos(θ − β).

_Eac обычно считается равным нулю, если значение сцепления не может поддерживаться постоянно.

_Eag действует на поверхность стены на одной трети её высоты от дна и под углом δ к прямому углу на стене. E _ap действует под тем же углом, но на половине высоты.

Коэффициенты давления грунта Мононобе-Окабе и Капиллы для динамических условий

Коэффициенты давления грунта Мононобе-Окабе и Капиллы для динамических активных и пассивных напряжений были получены на той же основе, что и решение Кулона:$$K_{ae}={\frac {\cos ^{2}{(\phi '-\psi -\beta )}}{\cos {\psi }\cos ^{2}{\beta }\cos(\delta +\beta +\psi ){\Bigl (}1+{\sqrt {\frac {\sin {(\phi '+\delta )}\sin {(\phi '-\psi +\alpha )}}{\sqrt {\cos {(\delta +\beta +\phi )}\cos {(\alpha -\beta )}}}}}{\Bigr )}^{2}}}$$$$K_{pe}={\frac {\cos ^{2}{(\phi '-\psi +\beta )}}{\cos {\psi }\cos ^{2}{\beta }\cos(\delta -\beta +\psi ){\Bigl (}1-{\sqrt {\frac {\sin {(\phi '+\delta )}\sin {(\phi '-\psi +\alpha )}}{\sqrt {\cos {(\delta -\beta +\phi )}\cos {(\alpha -\beta )}}}}}{\Bigr )}^{2}}}$$с горизонтальными составляющими давления грунта:

$\sigma _{a}=K_{a}\gamma z\cos \beta$

$\sigma _{p}=K_{p}\gamma z\cos \beta$

где, ${\textstyle k_{h}}$ а также ${\textstyle k_{v}}$ — сейсмические коэффициенты горизонтального и вертикального ускорения соответственно, ${\textstyle \psi =\arctan {(k_{h}/(1-k_{v}))}}$, ${\textstyle \beta }$ — угол наклона задней грани конструкции по отношению к вертикали, ${\textstyle \delta }$ угол трения между конструкцией и грунтом и ${\textstyle \alpha }$ — наклон обратного откоса.

Вышеупомянутые коэффициенты включены в нормы проектирования сейсмостойкости по всему миру (например, EN1998-5, AASHTO), поскольку Сид и Уитмен предложили их в качестве стандартных методов. Задачи с этими двумя решениями известны (например, см. Anderson ]), причем наиболее важной из них является квадратный корень из отрицательного числа для ${\textstyle \phi '<\psi \mp \beta }$ (знак минус обозначает активный случай, а знак плюс обозначает пассивный случай).

Различные коды проектирования признают проблему с этими коэффициентами и либо пытаются интерпретировать, либо диктуют модификацию этих уравнений, либо предлагают альтернативы. В этом отношении:

• Еврокод 8 предписывает (без каких-либо объяснений) весь квадратный корень в формуле Мононобе-Окабе, когда он отрицательный, произвольно заменять единицей.
• AASHTO, в дополнение к проблеме с квадратным корнем, признал консерватизм решения Мононобе-Окабе, приняв в качестве стандартной практики проектирования использование понижающего коэффициента для ожидаемого пикового ускорения грунта, предлагая ${\textstyle k_{h}=(1/2)PGA}$ (куда ${\textstyle PGA}$ это пиковое ускорение земли)
• Совет по сейсмической безопасности зданий предполагает, что ${\textstyle k_{h}=(2/3)PGA}$ по той же причине, что и выше
• Отчет GEO № 45 Инженерно-геологического управления Гонконга предписывает использование метода пробного клина, когда число под квадратным корнем отрицательное.

Отмечается, что приведенные выше эмпирические поправки на ${\textstyle k_{h}}$ сделанные AASHTO и Советом по сейсмической безопасности зданий, возвращают коэффициенты давления грунта, очень близкие к коэффициентам, полученным с помощью аналитического решения, предложенного Пантелидисом.

Velosities скорости продольной и поперечной волны для динамических расчетов (по модулю и плотности материала) нужно, когда решаем динамическую задачу, например необходимо оценить влияние от забивки сваи, посмотреть активную зону влияния, какие колебания возникнут и дать прогноз (модель грунта может быть другой, будут сложности с границами, при динамике волны возбуждаются и они будут распространятся в горизонтальном направлении, как попали на границу они будут отражаться, есть специальные динамические условия Лисмера (будут поглощать)).

Подход Мазиндрани и Ганджале для связных фрикционных грунтов с наклонной поверхностью

Мазиндрани и Ганджале представили аналитическое решение задачи о давлении грунта, оказываемом на неповрежденную стену без трения связным фрикционным грунтом с наклонной поверхностью. Полученные уравнения приведены ниже как для активного, так и для пассивного состояния:

$K_{a}={\frac {1}{\cos ^{2}\phi '}}{\biggl (}2\cos ^{2}\beta +2{\frac {c'}{\gamma z}}\cos \phi '\sin \phi '-{\sqrt {4\cos ^{2}\beta {\Bigl (}\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '{\Bigr )}+4{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}^{2}\cos ^{2}\phi '+8{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}\cos ^{2}\beta \sin \phi '\cos \phi '}}{\biggl )}-1$

$K_{p}={\frac {1}{\cos ^{2}\phi '}}{\biggl (}2\cos ^{2}\beta +2{\frac {c'}{\gamma z}}\cos \phi '\sin \phi '+{\sqrt {4\cos ^{2}\beta {\Bigl (}\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\phi '{\Bigr )}+4{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}^{2}\cos ^{2}\phi '+8{\biggl (}{\frac {c'}{\gamma z}}{\biggl )}\cos ^{2}\beta \sin \phi '\cos \phi '}}{\biggl )}-1$

с горизонтальными составляющими для активного и пассивного давления грунта составляют:

$\sigma _{a}=K_{a}\gamma z\cos \beta$

$\sigma _{p}=K_{p}\gamma z\cos \beta$

коэффициенты ka и kp для различных значений ${\textstyle \phi '}$, ${\textstyle \beta }$, и ${\textstyle c'/(\gamma z)}$ можно найти в табличной форме в Мазиндрани и Ганджале.

Основываясь на аналогичной аналитической методике, Гнанапрагасам дал другое выражение для ka. Однако отмечается, что выражения Мазиндрани, Ганджале и Гнанапрагасама приводят к идентичным значениям активного давления грунта.

Следуя любому подходу для активного давления грунта, глубина трещины растяжения оказывается такой же, как и в случае нулевого наклона обратной засыпки (см. Расширение теории Ренкина Беллом).

Единый подход Пантелидиса: обобщенные коэффициенты давления грунта

Пантелидис предложил единый полностью аналитический подход механики сплошной среды (основанный на первом законе движения Коши) для получения коэффициентов давления грунта для всех состояний грунта, применимый к связным фрикционным грунтам и как горизонтальным, так и вертикальным псевдостатическим условиям.

Используются следующие символы:

${\textstyle k_{h}}$ а также ${\textstyle k_{v}}$ — сейсмические коэффициенты горизонтального и вертикального ускорения соответственно

${\textstyle c'}$, ${\textstyle \phi '}$ а также ${\textstyle \gamma }$ — эффективное сцепление, эффективный угол внутреннего трения (пиковые значения) и удельный вес грунта соответственно.

${\textstyle c_{m}}$ подвижное сцепление грунта (мобильное сопротивление сдвигу грунта, то есть ${\textstyle c_{m}}$ а также ${\textstyle \phi _{m}}$ параметры могут быть получены либо аналитически, либо с помощью соответствующих карт; см. Пантелидис)

${\textstyle E}$ а также ${\textstyle \nu }$ — эффективные постоянные упругости грунта (то есть модуль Юнга и коэффициент Пуассона соответственно)

${\textstyle H}$ высота стены

${\textstyle z}$ это глубина, на которой рассчитывается давление грунта

Вывод давления грунта в состоянии покоя по коэффициенту активного давления грунта

$$K_{oe}=(1-\sin \phi ')\left(1+{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '\right)-{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)$$с ${\textstyle \sigma _{o}=K_{oe}(1-k_{v})\gamma z}$

Коэффициент активного давления грунта

$$K_{ae}={\frac {1-\sin \phi '}{1+\sin \phi '}}\left(1+2{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '\right)-{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)$$с ${\textstyle \sigma _{a}=K_{ae}(1-k_{v})\gamma z}$

Коэффициент пассивного давления грунта

$$K_{pe}={\frac {1+\sin \phi '}{1-\sin \phi '}}\left(1-2{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '\right)+{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}+{\frac {\phi '}{2}}\right)$$с ${\textstyle \sigma _{p}=K_{pe}(1-k_{v})\gamma z}$

Вывод давления грунта в состоянии покоя по коэффициенту активного давления грунта

$$K_{xe,a}={\biggl (}{\frac {1-\sin \phi '}{1+\sin \phi '}}{\biggr )}{\biggl (}\left(1-\xi \sin \phi '\right)-{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '(2+\xi (1-\sin \phi ')){\biggl )}-{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)$$с ${\textstyle \sigma _{x,a}=K_{xe,a}(1-k_{v})\gamma z}$

Коэффициент промежуточного давления грунта на пассивную «сторону»

$$K_{xe,p}={\biggl (}{\frac {1+\sin \phi '}{1-\sin \phi '}}{\biggr )}^{\xi _{1}}{\biggl (}\left(1+\xi \sin \phi '\right)+\xi _{2}{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan \phi '(2+\xi (1+\sin \phi ')){\biggl )}+{\frac {1}{1-k_{v}}}{\frac {2c_{m}}{\gamma z}}{\Biggl (}{\frac {\tan \left(45^{o}+{\frac {\phi '}{2}}\right)}{\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)}}{\Biggr )}^{\xi _{1}}\tan \left(45^{o}-{\frac {\phi '}{2}}\right)$$куда, ${\textstyle \xi _{1}=1+\xi }$, ${\textstyle \xi _{2}={\frac {2}{m}}-1}$, ${\textstyle \xi ={\frac {m-1}{m+1}}{\Bigl (}1-{\frac {1}{m}}{\Bigr )}-1}$ а также ${\textstyle m={\Bigl (}1-{\frac {\Delta x}{\Delta x_{max}}}{\Bigr )}^{-1}}$

с ${\textstyle \sigma _{x,p}=K_{xe,p}(1-k_{v})\gamma z}$

${\textstyle \xi _{1}}$ а также ${\textstyle \xi _{2}}$ — параметры, связанные с переходом грунтового клина из состояния покоя в грунтовый клин пассивного состояния (то есть угол наклона грунтового клина, изменяющийся от ${\textstyle 45^{o}+\phi '/2}$ к ${\textstyle 45^{o}-\phi '/2}$ . Также, ${\textstyle \Delta x}$ а также ${\textstyle \Delta x_{max}}$ боковое смещение стенки и боковое (максимальное) смещение стенки, соответствующее активному или пассивному состоянию (оба на глубине ${\textstyle z}$). Последний приведен ниже.

Боковое максимальное смещение стенки, соответствующее активному или пассивному состоянию

$$\Delta x_{max}={\frac {\pi }{4}}{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}{\frac {(H+z)^{3}(H-z)}{H^{2}z}}\Delta \mathrm {K} (1-k_{v})\gamma z$$для гладкой подпорной стены и$$\Delta x_{max}={\frac {\pi }{4}}{\frac {(3-\nu -4\nu ^{2})(1+\nu )}{E}}{\Biggl (}{\frac {1-\nu ^{2}}{H^{2}-z^{2}}}+{\frac {\nu (1+\nu )H-(1-\nu ^{2})z}{(H+z)^{3}}}{\Biggl )}^{-1}{\frac {1}{H}}\Delta \mathrm {K} (1-k_{v})\gamma z$$для черновой подпорной стены

с ${\textstyle \Delta \mathrm {K} =K_{oe}-K_{xe,a}}$ или же ${\textstyle \Delta \mathrm {K} =K_{xe,p}-K_{oe}}$ для активной и пассивной «стороны» соответственно.

Глубина трещины растяжения (активное состояние) или нейтральной зоны (состояние покоя)

Глубина нейтральной зоны в состоянии покоя равна:$$z_{nz}={\frac {c'}{(1-k_{v})\gamma \tan {\phi '}}}{\Biggl [}{\frac {1}{{\biggl (}\cos {\phi '}+{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\sin {\phi '}{\biggl )}^{2}}}-1{\Biggl ]}$$а глубина трещины растяжения в активном состоянии:$$z_{tc}={\frac {c'}{(1-k_{v})\gamma \tan {\phi '}}}{\Biggl [}{\frac {\tan ^{2}(45+\phi '/2)}{{\biggl (}1+2{\frac {k_{h}}{1-k_{v}}}\tan {\phi '}{\biggl )}^{2}}}-1{\Biggl ]}$$В статических условиях ($k_{h}$ знак равно $k_{v}$ =0), где мобилизованная сплоченность, $c_{m}$, равно значению сцепления в критическом состоянии, $c'$, приведенное выше выражение преобразуется в известное:$$z_{tc}={\frac {2c'}{\gamma \tan {(45^{o}-\phi '/2)}}}$$

Коэффициент мобилизации силы (SMF) к c' и tanφ'

Согласно Руководству EM1110-2-2502, соответствующее значение SMF позволяет рассчитать давление грунта, превышающее активное, с использованием уравнения активной силы Кулона. Приняв среднее значение SMF, равное 2/3 вдоль кулоновской поверхности разрушения, было показано, что для чисто фрикционных грунтов полученное значение коэффициента давления грунта достаточно хорошо совпадает с соответствующим значением, полученным из уравнения Джеки. $K_{0}=1-\sin \phi '$ уравнение.

В решении, предложенном Пантелидисом, фактор SMF равен $1/f_{m}$ соотношение и то, что было предусмотрено EM1110-2-2502, можно точно рассчитать.

Пример № 1: Для $c'$ =0кПа, $\phi '$ =30 ^°, γ=18 кН/м ³, $k_{h}$ =0,3, $k_{v}$ =0,15 и $z$ =2 м, для состояния покоя $K_{oe}$ =0,602, $c_{m}$ =0 кПа и $\phi _{m}$ =14,39 ^o . Используя это ($c_{m}$, $\phi _{m}$) пара значений вместо ($c'$, $\phi '$) пара значений и $k_{h}$ знак равно $k_{v}$ =0 в коэффициенте активного давления грунта (${\textstyle K_{ae}}$) заданный ранее, последний возвращает коэффициент давления грунта, равный 0,602, то есть снова коэффициент давления грунта в состоянии покоя.

Пример № 2: Для $c'$ =0кПа, $\phi '$ =30 ^°, γ=18 кН/м ³, $k_{h}$ =0,3, $k_{v}$ =0,15 и $z$ =2 м, для состояния покоя $K_{oe}$ =0,602, $c_{m}$ =0 кПа и $\phi _{m}$ =14,39 ^o . Используя это ($c_{m}$, $\phi _{m}$) пара значений вместо ($c'$, $\phi '$) пара значений и $k_{h}$ знак равно $k_{v}$ =0 в коэффициенте активного давления грунта (${\textstyle K_{ae}}$) заданный ранее, последний возвращает коэффициент давления грунта, равный 0,602, то есть снова коэффициент давления грунта в состоянии покоя.