Вейвлет Койфлет

Вейвлет Койфлет порядка 1

К вейвлет-функциям с компактным носителем относятся вейвлеты Добеши, койфлеты и симмлеты. Метод построения вейвлет-функций с компактным носителем принадлежит Ингрид Добеши. Койфлеты являются частным случаем вейвлетов Добеши с нулевыми моментами скейлинг-функции.

Основные положения теории вейвлет-функций

Вейвлеты — ортонормированный базис в $L_{2}$. С помощью вейвлет-анализа можно выделить высокочастотные всплески, например, в экспериментальных данных. В отличие от анализа Фурье, применяемого в этих же целях, вейвлет-анализ позволяет выявить не только частотную составляющую информации, но и её временную локализацию. Преимущества вейвлетов заключаются и в том, что для задачи приближения число спектральных коэффициентов много меньше числа спектральных коэффициентов Фурье. Это свойство используется в алгоритмах сжатия данных. Например, при одинаковом уровне сжатия по алгоритму JPEG и вейвлет-алгоритму, после восстановления, второй дает гораздо лучшее качество картинки .

Построение систем вейвлет-функций

Определение скейлинг-функции

Пусть $\varphi (t)$ представляет собой функцию из в $L_{2}$, такую что множество её трансляций

$\{{\varphi }_{0,\;k}(t){\bigr |}\varphi _{0,\;k}(t)=\varphi (t-k)\},$ ($k\in \mathrm {Z}$ — параметр масштабирующий частоту вейвлета)

образует ортогональный базис в $L_{2}(R)$.

Введем ${\varphi }_{j,\;k}(t)$ согласно:

${\varphi }_{j,\;k}(t)=2^{j/2}\varphi (2^{j}t-k)j,k\in \mathrm {Z} .$

Пусть $\{{\varphi }_{0,\;k}(t)\}$ — ортонормированный базис пространства $V_{0}$. Тогда для любой функции $f(t)\in {\mbox{V}}_{\mathrm {0} }$:

$f(t)=\sum _{k}C_{k}\varphi (t-k).$

Далее, пусть $\{{\varphi }_{j,\;k}(t)\}$ — ортонормированный базис пространства $V_{j}$ , $j\in \mathrm {Z}$. Тогда мы получаем последовательность пространств $\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$, таких что

$V_{j}\subset V_{j+1}$.

Определение. Пусть ${\varphi }_{0,\;k}(t)$ — ортонормированный базис в $V_{0}$, тогда разложение функции $f(t)\in L_{2}$ по базисам пространств $\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$ называется многомасштабным анализом в $L_{2}$.

Определение. Если $\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_{2}$, функция $\varphi (t)$ порождает многомасштабный анализ и называется скейлингом.

Определение материнской вейвлет-функции

Пусть последовательность пространств $\{V_{j}{\bigr |}j\in \mathrm {Z} \}$ является последовательностью пространств многомасштабного анализа в $L_{2}$. Определим пространство $W_{j}$ как дополнение пространства $V_{j}$ до пространства $V_{j+1}$, то есть $W_{j}=V_{j+1}\backslash V_{j}$. Тогда

$V_{j}=V_{0}\oplus \bigoplus _{k=0}^{j}W_{k}$,

или же:

${L}_{2}=V_{0}\oplus \bigoplus _{j=0}^{\infty }W_{j}$. $(1)$

Построим материнскую вейвлет-функцию $\psi (t)\in {L}_{2}$ ортогональную скейлинг-функции $\varphi (t)$. В результате получим набор функций $\{{\psi }_{j,\;k}(t){\bigr |}j,k\in \mathrm {Z} \}$ — базис в пространстве $W_{j}$.

Вейвлет-разложение

Таким образом, согласно (1) и определению функций ${\psi }_{j,\;k}(t)$ и ${\varphi }_{j,\;k}(t))$ как базисов в соответствующих пространствах, получаем, что любая функция $f(t)\in L_{2}$ может быть разложена в сходящийся в $L_{2}$ ряд:

$f(t)=\sum _{k}{\alpha }_{k}{\varphi }_{0,\;k}(t)+\sum _{j}\sum _{k}{\beta }_{j,\;k}{\psi }_{k,\;j}(t),$

при этом коэффициенты ряда вычисляются следующим образом:

${\alpha }_{k}=\int f(t){\varphi }_{0,\;k}^{\ast }(t)dt,$

${\beta }_{j,\;k}=\int f(t){\psi }_{j,\;k}^{\ast }(t)dt.$

Коэффициенты ${\alpha }_{k}$ дают информацию об общей форме исследуемой функции, тогда как коэффициенты ${\beta }_{j,\;k}$ содержат информацию о деталях общей формы.

Уровень разложения задается числом пространств $W_{j}$ используемых для анализа.

Функция $m_{0}(\omega )$

Утверждение. Пространства $V_{j}$ являются вложенными $V_{j}\subset V_{j+1}$ , $j\in \mathrm {Z}$ при условии, что существует $2\pi$ — периодическая функция $m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )$ такая, что

${\hat {\varphi }}(\omega )=m_{0}\left({\frac {\omega }{2}}\right){\hat {\varphi }}\left({\frac {\omega }{2}}\right)$, $(2)$

где ${\hat {\varphi }}(\omega )$ — Фурье-образ функции $\varphi (t)$ (доказательство см. 2).

Лемма 0.Система функций $\{{\varphi }_{0,\;k}{\bigr |}k\in \mathrm {Z} \}$ является ортонормированной в $L_{2}$ тогда и только тогда, когда

$\sum _{k}{\bigr |}{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi k){\bigr |}^{2}=1$. (3)

Лемма 1. Положим, что $\{{\varphi }_{0,\;k}{\bigr |}k\in \mathrm {Z} \}$представляет собой ортонормированный базис в $L_{2}$ . Тогда для любой $2\pi$ -периодической функции, удовлетворяющей условию (2), имеет место равенство:

${\bigr |}{m}_{0}(\omega ){\bigr |}^{2}+{\bigr |}{m}_{0}(\omega +\pi ){\bigr |}^{2}=1$. (4)

Лемма 2.В том случае, если $\varphi (t)$ представляет собой скейлинг-функцию, образующую совместно со своими трансляциями и дилатациями пространства многомасштабного анализа, тогда как $m_{0}(\omega )$ — $2\pi$ -периодическую функцию из $L_{2}(0,2\pi )$ , удовлетворяющую условию (2), обратное преобразование Фурье образа

${\hat {\psi }}(\omega )=m_{1}\left({\frac {\omega }{2}}\right){\hat {\varphi }}\left({\frac {\omega }{2}}\right)$, $(5)$

где

$m_{1}(\omega )=m_{0}^{*}(\omega +\pi )\exp(-jw)$ — вейвлет-функция. (6)

Таким образом, скейлинг-функция $\varphi (t)$ и материнская вейвлет-функция $\psi (t)$ определяются $2\pi$ -периодической функцией $m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )$ согласно (2), (5), обладающей определенными свойствами (3), (4), (5) + должно выполняться условие

$m_{0}(0)=0$.

Вейвлеты Р. Койфмана — койфлеты

Вейвлеты Добеши и койфлеты индуцируются общей $2\pi$ -периодической функцией $m_{0}(w)\in L_{2}(0,2\pi )$, но для койфлетов к ней добавляется набор условий, определяющих равенство нулю моментов соответствующей скейлинг-функции, что весьма полезно в задачах аппроксимации.

Теорема. В том случае, если функция принадлежит пространству Соболева и при этом ядро аппроксимации удовлетворят некоторому условию моментов (равенство нулю), тогда аппроксимация данной функции обладает наперед заданной точностью. Обратно: для аппроксимации, обладающей известной сходимостью, ядро аппроксимации удовлетворяет некоторому условию моментов.

Для построения вейвлетов Добеши и койфлетов рассмотрим функцию $m_{0}(\omega )$ :

$m_{0}(\omega )=\left({\frac {1+\exp(-j\omega )}{2}}\right)^{N}L(\omega ),$

где $L(\omega )$ — тригонометрический полином. Для построения койфлетов потребуем выполнение следующих условий:

1. $\int \varphi (t){t}^{l}dt=0,l=1,..,N-1;$
2. $\int \varphi (t)tdt=1;$
3. $\int \psi (t){t}^{l}dt=0,l=0,..,N-1.$

Или в частотной области:

1. ${\hat {\varphi }}^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-1;$
2. ${\hat {\varphi }}(0)=1;$
3. ${\hat {\psi }}^{(l)}(0)=0,l=0,..,N-1.$

Условие ${\hat {\varphi }}^{(l)}(0)=0$ подразумевает ${m}^{(l)}(0)=0,l=1,..,N-1;$.

Если существует некоторое число $N=2K,K\in \mathrm {N}$, тогда, согласно работе рассматриваемая функция $m_{0}(\omega )$ для койфлетов может быть представлена в виде:

$m_{0}(\omega )=\left({\frac {1+\exp(-j\omega )}{2}}\right)^{2K}{P}_{1}{}(\omega ),$

где

${P}_{1}(\omega )=\sum _{k=0}^{K-1}\left[\left({\begin{array}{c}{\frac {k}{K-1+k}}\end{array}}\right)\left(\sin({\frac {\omega }{2}})\right)^{2k}+\left(\sin({\frac {\omega }{2}})\right)^{2K}F(\omega )\right],$ (7)

$F(\omega )$ — тригонометрический полином, выбираемый так, чтобы выполнялось условие:

${\bigr |}{m}_{0}(\omega ){\bigr |}^{2}+{\bigr |}{m}_{0}(\omega +\pi ){\bigr |}^{2}=1$.

Определение. Вейвлет-функции, полученные с использованием полинома $m_{0}(\omega )$ в виде (7), называются койфлетами уровня $N=2K$ .

Преимущества и применение койфлетов

• Вейвлет-функции с компактными носителями, например, такие как вейвлеты Добеши и койфлеты, наиболее качественно выделяют локальные особенности сигналов.
• Койфлеты более симметричны чем, например, вейвлеты Добеши, что дает лучшую аппроксимацию при изучении симметричных сигналов.
• Наличие у койфлетов нулевых моментов скейлинг-функции приводит к лучшей сжимаемости.

См. также

• Вейвлет
• Вейвлет Хаара
• Вейвлеты Добеши

Литература

• Хардле В., Крекьячаряна Ж. , Пикара Д. и Цыбакова А. Вейвлеты, аппроксимация и статистические приложения. // — https://web.archive.org/web/20021020170708/http://www.quantlet.de/scripts/wav/html/ .
• Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // «Компьютерра». — 2001. — № 39.