Инъективный объект

Инъективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия инъективного модуля. Двойственное понятие — проективный объект.

Определение

Объект $Q$ категории $C$ называется инъективным, если для любого морфизма $f:A\to Q$ и любого мономорфизма $h:A\to B$ существует морфизм $g:B\to Q$ продолжающий $f$, то есть $g\circ h=f$.

Абелев случай

Исходное определение инъективного объекта было дано для абелева случая (и он остаётся наиболее важным). Если $C$ — абелева категория, то её объект $Q$ называется инъективным тогда и только тогда, когда функтор Hom $\mathrm {Hom} _{C}(-,Q)$ точен.

Достаточно много инъективных объектов

Говорят, что в категории $C$ достаточно много инъективных объектов, если для любого объекта $X$ категории $C$ существует мономорфизм $f:X\to Q$ в инъективный объект $Q$.

Инъективная оболочка

Мономорфизм $g$ категории $C$ называется существенным, если для любого морфизма $f$ композиция $f\circ g$ является мономорфизмом, только если $f$ является мономорфизмом.

Если $f:X\to G$ — существенный мономорфизм и объект $G$ инъективен, то $G$ называется инъективной оболочкой $X$. Инъективная оболочка единственна с точностью до неканонического изоморфизма.

Обобщение

объект Q есть H-иньективним если для h : A → B из класса H, для любого f : A → Q существует коммутативная диаграмма.

Пусть ${\mathfrak {C}}$ является категорией ${\mathcal {H}}$ — Класс морфизмов у ${\mathfrak {C}}$.

Объект $Q$ категории ${\mathfrak {C}}$ называется ${\mathcal {H}}$-иньективним если для любого морфизма $f:\to Q$ и каждого морфизма $h:\to B$ из класса ${\mathcal {H}}$ существует морфизм $g:B\to Q$ для которого $g\circ h=f$.

Если ${\mathcal {H}}$ является классом мономорфизм то получается определение иньективних модулей.

Категория ${\mathfrak {C}}$ имеет довольно много ${\mathcal {H}}$-иньективних объектов если для каждого объекта X категории ${\mathfrak {C}}$, существует ${\mathcal {H}}$-морфизм с X в ${\mathcal {H}}$-иньективний объект.

Примеры

• В категории абелевых групп инъективные объекты — это делимые группы.

• В категории модулей $R-\mathrm {Mod}$ инъективные объекты — это инъективные модули. В $R-\mathrm {Mod}$ существуют инъективные оболочки, и, как следствие, достаточно много инъективных объектов.

• В категории метрических пространств и коротких отображений инъективные объекты по отношению к экстремальным мономорфизмам — это инъективные метрические пространства.

• Рассматривают также инъективные объекты в более общих категориях, например в категориях функторов или в категориях пучков модулей.

${\mathcal {H}}$-морфизм g в ${\mathfrak {C}}$ называется ${\mathcal {H}}$-существенным если для любого морфизма f, композиция fg принадлежит классу ${\mathcal {H}}$ только если f принадлежит классу ${\mathcal {H}}$.

Если g есть ${\mathcal {H}}$-существенным морфизм с X в ${\mathcal {H}}$-иньективний объект G, то G называется H-иньективною оболочкой объекта X.

Литература

• Jiri Rosicky. Injectivity and accessible categories.
• Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. — Cambridge University Press, 1994.