Проективный объект

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.

Определение

Объект $P$ в категории ${\mathcal {C}}$ называется проективным если для произвольного эпиморфизма $e\colon E\twoheadrightarrow X$ и морфизма $f\colon P\to X$ существует морфизм ${\overline {f}}:P\to E$ для которого $e\circ {\overline {f}}=f$, то есть диаграмма:

коммутативна.

Свойства

• В локально малой категории ${\mathcal {C}}$, объект $P$ является проективным только если функтор

  $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

сохраняет эпиморфизмы.

• Пусть ${\mathcal {C}}$ — локально малая абелева категория. В этом случае объект $P\in {\mathcal {C}}$ является проективным объектом если

  $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

является точным функтором, где $\mathbf {Ab}$ является категорией абелевых групп.

• Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом.
• Ретракт проективного объекта является проективным.

Примеры

• Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.

• Проективными объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.

• Пусть $R$ — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию ${\mathcal {M}}_{R}$ левых $R$-модулей. Проективными объектами в ${\mathcal {M}}_{R}$ являются проективные левые R-модули. В частности $R$ является проективным объектом в ${\mathcal {M}}_{R}.$