Категория Люстерника — Шнирельмана

Категория Люстерника — Шнирельмана — характеристика топологического пространства $X$ — минимальное число $\operatorname {cat} X$ таких замкнутых множеств, которыми можно покрыть $X$ и каждое из которых может быть стянуто в точку посредством непрерывной деформации в $X$. Категория имеет важное значение для вариационного исчисления, так как она оценивает снизу число стационарных (критических) точек гладкой функции на замкнутом многообразии.

Свойства

• Категория Люстерника—Шнирельмана является гомотопическим инвариантом.
• $\operatorname {cat} \,\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}=n+1$, где $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ обозначает $n$-мерное вещественное проективное пространство.
• $\operatorname {cat} X>\operatorname {long} X,$ где когомологическая длина $\operatorname {long} X$ определяется как наибольшее число классов когомологий положительной размерности, произведение которых отлично от нуля.

История

Категория была введена Люстерником в 1931 при решении ряда задач, в том числе задачи о трёх замкнутых геодезических на поверхностях, гомеоморфных двумерной сфере. Он же впервые вычислил её для вещественного проективного пространства. Позже, совместно со Шнирельманом, категория была использована для доказательства гипотезы Пуанкаре о существовании трёх замкнутых геодезических на выпуклых телах.

См. также

• Род Шварца