Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения, без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Станем искать решение уравнения

$a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=f(t),$

полагая, что для соответствующего ему однородного уравнения

$a_{n}(t)z^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)z^{(n-1)}(t)+...+a_{1}(t)z'(t)+a_{0}(t)z(t)=0\qquad (1)$

известно решение, которое запишем как

$z(t)=c_{1}z_{1}(t)+c_{2}z_{2}(t)+...+c_{n}z_{n}(t)$

Метод состоит в замене произвольных постоянных $c_{k}$ в общем решении на вспомогательные функции $c_{k}(t)$.

Производная для $z=c_{1}(t)z_{1}+c_{2}(t)z_{2}+...+c_{n}(t)z_{n}$ запишется

$z'=c_{1}'z_{1}+\ldots +c_{n}'z_{n}\;+\;c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'$

Но мы потребуем дополнительно (ниже показано, что проблем это не вызовет), чтобы

$c_{1}'z_{1}+c_{2}'z_{2}+\ldots +c_{n}'z_{n}=0$

Таким образом, $z'=c_{1}z_{1}'+\ldots +c_{n}z_{n}'$

Вводя схожие требования для $c_{k}'$ при последовательном дифференцировании $z(t)$ до (n-1) порядка, получим

$c_{1}'z^{(k-1)}+\ldots +c_{n}'z^{(k-1)}=0$ $\Rightarrow$ $z^{(k)}=c_{1}z_{1}^{(k)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(k)}$

А для старшей производной, соответственно

$z^{(n)}=c_{1}'z_{1}^{(n-1)}+\ldots +c_{n}'z_{n}^{(n-1)}+\;\ldots \;+c_{1}z_{n}^{(n)}+\ldots +c_{n}z_{n}^{(n)}$

После подстановки в исходное уравнение и сокращения в нём однородного решения (1), останется

$a_{n}(t)\left[c_{1}'(t)z_{1}^{(n-1)}(t)+\ldots +c_{n}'(t)z_{n}^{(n-1)}(t)\right]=f(t)$

В результате, приходим к

$\left\{{\begin{matrix}z_{1}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}(t)c_{n}'(t)&=&0\\\vdots \\z_{1}^{(n-2)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-2)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-2)}(t)c_{n}'(t)&=&0\\z_{1}^{(n-1)}(t)c_{1}'(t)&+&z_{2}^{(n-1)}(t)c_{2}'(t)&+&...&+&z_{n}^{(n-1)}(t)c_{n}'(t)&=&f(t)/a_{n}(t)\end{matrix}}\right.\qquad (2)$

Определителем системы (2) служит вронскиан функций $z_{1},z_{2},...,z_{n}$, что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно ${c_{k}'}$.

Если ${\widetilde {c_{k}}}$ — первообразные для $c_{k}'$, взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

$z=z^{*}(t)={\widetilde {c_{1}}}(t)z_{1}(t)+...+{\widetilde {c_{n}}}(t)z_{n}(t)$

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Примеры

1) Уравнение, в частности возникающее в законе радиоактивного распада

${\dot {x}}+\gamma x=f(t)$

Общее решение элементарно интегрируется:

$x=c\cdot e^{-\gamma t}$

Применим метод Лагранжа:

$c'e^{-\gamma t}=f(t)$

Откуда искомое решение

$x=\int f(t)e^{\gamma t}\,dt\;\cdot e^{-\gamma t}$

2) Уравнение гармонического осциллятора

${\ddot {x}}+\omega ^{2}x=f(t)$

Решение однородного уравнения запишем в виде

$x=a\sin \omega t+b\cos \omega t$

Согласно системе (2) получаем:

${\begin{cases}a'\sin \omega t+b'\cos \omega t=0,\\a'\cos \omega t-b'\sin \omega t=f(t)/\omega ;\end{cases}}$

$a'={\frac {-{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}={\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)$

$b'={\frac {{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)}{-1}}=-{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)$

Восстановим решение:

$x(t)=\left(\int dt\,{\frac {\cos \omega t}{\omega }}f(t)\right)\sin \omega t-\left(\int dt\,{\frac {\sin \omega t}{\omega }}f(t)\right)\cos \omega t$

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

${\frac {d{\bar {x}}}{dt}}=A(t){\bar {x}}+{\bar {f}}(t),t\in I\qquad (3)$

состоит в построении общего решения (3) в виде

${\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=Z(t){\bar {u}}(t),$

где $Z(t)$ — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция ${\bar {u}}$, заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением ${\bar {u'}}(t)=Z^{-1}(t){\bar {f}}(t)$. Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при $t=t_{0}$ имеет вид

${\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t)Z^{-1}(\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .$

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

${\bar {x}}={\bar {x^{*}}}(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}Z(t-\tau ){\bar {f}}(\tau )d\tau .$

Матрица $Z(t)Z^{-1}(\tau )$ называется матрицей Коши оператора $L=A(t)$.

Ссылки

• exponenta.ru — Теоретическая справка c примерами