Метод исчерпывания

Метод исчерпывания (лат. methodus exhaustionis) — античный математический метод, предназначенный для исследования площадей криволинейных геометрических фигур или объёмов геометрических тел. Идею метода, в не очень ясных выражениях, высказал ещё Антифон, однако разработку и применение осуществил Евдокс Книдский.

Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было особого названия. Обоснование этого метода не опирается на понятие бесконечно малых, но неявно включает понятие предела. Уточнение метода исчерпывания привело впоследствии к интегральному исчислению.

Описание метода

Вычисление площади круга методом исчерпывания

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

Обоснование

Теоретическая основа метода исчерпывания Евдокса изложена в X книге «Начал» Евклида. Там формулируется основная лемма:

Предложение 1. Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины.

Это одна из немногих теорем общей теории пределов, приведённая у античных авторов. В X веке Сабит ибн Курра предложил обобщение данной леммы, заменив «половину» на «любую часть».

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса). Евклид в своих «Началах» использовал метод исчерпывания для доказательства шести теорем 12-й книги:

• теоремы 2 (о площади круга);
• теоремы 5 (об объёме тетраэдра);
• теоремы 10-12 (об объёмах конуса и цилиндра);
• теоремы 18 (о зависимости объёма шара от его радиуса).

Применение

Архимедовы шар и цилиндр

Наиболее плодотворным метод исчерпывания стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В частности, он обнаружил следующее:

• площадь поверхности сферы равна учетверённой площади сечения большого круга этой сферы;
• площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника;
• объём шара составляет 2/3 объёма описанного вокруг него цилиндра.

В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

См. также

• Квадратура (математика)

Литература

• Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 323—346.
• История математики. В 3-х томах / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.