Интегральное исчисление

Интегральное исчисление — раздел математического анализа, в котором изучаются интеграл, его свойства и методы вычислений.

Длины, площади и объёмы

Задачи исчисления

В сочинении Архимеда «Об измерении длины окружности» рассматривается задача определения длины окружности и площади круга, а в трактате «О шаре и цилиндре» — вопросы, связанные с поверхностями и объёмами тел, ограниченных кривыми поверхностями. Эти задачи относятся к числу первых геометрических проблем, связанных с интегральным исчислением. И в настоящее время одной из основных задач интегрального исчисления остаётся нахождение площадей криволинейных фигур. Под площадью криволинейной фигуры $S$ (см. чертёж 1) понимается предел, к которому стремится площадь многоугольника, вписанного в данную фигуру, при неограниченном увеличении числа его сторон, причём длины сторон могут быть сделаны меньше любого заранее заданного положительного числа.^{[источник?]}

Площади элементарных фигур

Основная статья: Площадь

Чертёж 1

Вычисление площадей геометрических фигур основывается на базовом понятии площади прямоугольника. Площадь прямоугольника определяется как произведение длин его смежных (непараллельных) сторон. Это определение поддаётся обобщению до определения объёма $n$-мерных параллелепипедов.^{[источник?]}

Площадь параллелограмма может быть найдена путём сведения его к прямоугольнику посредством отсечения и добавления равных треугольников. Поскольку площадь обладает свойствами аддитивности (площадь объединения непересекающихся фигур равна сумме их площадей) и инвариантности (то есть одинакова для конгруэнтных фигур), площадь параллелограмма равна площади соответствующего прямоугольника или, что то же самое, произведению его стороны на высоту, опущенную на неё.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, получаемого удвоением данного треугольника. Площади многоугольников определяются посредством разбиения из на треугольники.

Площади под произвольным графиком

Часто возникает задача нахождения площади так называемой криволинейной трапеции — части плоскости, ограниченной графиком функции $f(x)$, осью абсцисс, и прямыми $x=a$ и $x=b$. В общем случае такая область не разбиваться на конечное число прямоугольников.

При этом вводится понятие площади со знаком: площадь участков, лежащих ниже оси абсцисс считается отрицательной. Во многих приложениях площадь рассматривается не только как геометрическая характеристика фигуры, но и как свойство самой функции, в том числе с точки зрения её физического смысла. При необходимости может быть рассмотрена площадь, соответствующая модулю функции.

Вычисление таких площадей может производиться различными способами, имеющими разную область применимости.

Интеграл Римана

Основная статья: Интеграл Римана

Вычисление площади криволинейной трапеции при различных $\xi _{i}$: равных минимуму (ниже) и максимуму (выше) значения функции на интервале. Если пределы при диаметре, стремящемся к нулю, и таком принципе выбора $\xi _{i}$ равны, то это и есть интеграл Римана

Геометрический смысл интеграла Римана

Наиболее распространённым способом нахождения площади криволинейной трапеции является интегрирование по Риману. Согласно критерию Лебега, интеграл Римана существует для всех функций непрерывных почти всюду, то есть разрывных на множестве точек меры нуль.^{[источник?]}

Метод заключается в разбиении отрезка $[a;b]$ (при $a<b$) на непересекающиеся подотрезки длины $\Delta x_{i}$. В каждом подотрезке выбирается точка $\xi _{i}$ на графике, и рассматриваются прямоугольники, высота которых равна $f(\xi _{i})$, а основание —длине соответствующего подотрезка. Суммарная площадь таких прямоугольников равна

$\sum _{i}f(\xi _{i})\Delta x_{i}.$

При стремлении диаметра разбиения к нулю, если существует предел указанных сумм, он называется интегралом Римана функции $f(x)$ в пределах от $a$ до $b$^{[источник?]} и обозначается

$\int _{a}^{b}{f(x)dx}.$

При $a>b$ интеграл принимается равным аналогичному интегралу от $b$ до $a$, а при $a=b$ считается раным нулю.^{[источник?]}

Интеграл Лебега

Основная статья: Интеграл Лебега

Альтернативным подходом к интегрированию является интеграл Лебега. Любая функция, интегрируемая по Риману на конечном отрезке, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём значения интегралов совпадают.^{[источник?]} Вместе с тем существует широкий класс измеримых функций, интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману.^{[источник?]}

Определение интеграла строится поэтапно для всё более общих функций. Его суть можно выразить так: умножим каждое число из области значения функции на меру его полного прообраза. Если область значения конечна (иначе говоря, функция является простой), то сумма полученных значений называется интегралом Лебега от функции $f(x)$. В противном случае рассмотрим все конечнозначные функции, всюду меньшие $f(x).$ Если $f(x)$ неотрицательна, то интегралом Лебега от неё называется точная верхняя грань интеграла Лебега от рассматриваемых конечнозначных функций. А так как для любой функции $f(x)=\max {\big (}0;f(x){\big )}+\min {\big (}0;f(x){\big )}$ и $\max {\big (}0;f(x){\big )},-\min {\big (}0;f(x){\big )}\geqslant 0$ всюду, интеграл Лебега от произвольной $f(x)$ определяется из соображений аддитивности. Наконец, для произвольного измеримого множества $A$ интегралом Лебега функции $f(x)$ по множеству $A$ называется интеграл Лебега от произведения функции $f(x)$ на индикатор $A.$ Отметим, что все три части определения между собой согласованы. К примеру, интегралы от простой неотрицательной функции, посчитанные двумя приведёнными способами, равны.^{[источник?]}

Интеграл Лебега функции $f(x)$ по множеству $A$ обозначается:

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx).$

Площади произвольных фигур

Используя аппарат интегрального исчисления, можно вычислять площади областей, ограниченных произвольными параметрическими кривыми. Для этого достаточно взять интеграл от произведения функции одной координаты на производную (по параметру) другой. То есть если кривая задана параметрическими уравнениями $x=x(t)$, $y=y(t)$ при $t\in [t_{1};t_{2}]$, $t_{1}<t_{2}$, то площадь равна

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{y(t)x'_{t}(t)dt}.$

См. также

• Интегральное уравнение
• Знак интеграла
• Дифференциальное исчисление
• Исторический очерк развития интегрального исчисления даётся в статье Математический анализ.

Литература

• Виноградов И. М. (ред.) Математическая энциклопедия. — Том 2. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
• Граве Д. А. Интегральное исчисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.