Тетраэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тетраэдр

Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник[1], от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες — «четыре» + др.-греч. ἕδρα — «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника[2]. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства тетраэдра[править | править вики-текст]

  • Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.
  • Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части[3]:216-217.
  • Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).

Типы тетраэдров[править | править вики-текст]

Помимо правильного тетраэдра, выделяют следующие специальные виды тетраэдров.

Развертка равногранного тетраэдра

Свойства равногранного тетраэдра:

    • Все его грани равны (конгруэнтны).
    • Скрещивающиеся ребра попарно равны.
    • Трехгранные углы равны.
    • Противолежащие двугранные углы равны.
    • Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
    • Сумма плоских углов при каждой вершине равна  180^0.
    • Развертка тетраэдра - треугольник или параллелограмм.
    • Описанный параллелепипед прямоугольный.
    • Тетраэдр имеет три оси симметрии.
    • Общие перпендикуляры скрещивающихся ребер попарно перпендикулярны.
    • Средние линии попарно перпендикулярны.
    • Периметры граней равны.
    • Площади граней равны.
    • Высоты тетраэдра равны.
    • Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
    • Радиусы описанных около граней окружностей равны.
    • Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
    • Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
    • Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
    • Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
    • Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням), равна нулю.
    • Сумма всех двугранных углов равна нулю.
  • Ортоцентрический тетраэдр, у которого все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Свойства ортоцентрического тетраэдра:

    • Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
    • Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
    • Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
    • Суммы квадратов противоположных ребер тетраэдра равны.
    • Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, равны.
    • Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
    • Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных ребер.
    • У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
    • У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере ( сфере 12 точек).
  • Прямоугольный тетраэдр, у которого все ребра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.
  • Каркасный тетраэдр — тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий[4]:
    • существует сфера, касающаяся всех ребер,
    • суммы длин скрещивающихся ребер равны,
    • суммы двугранных углов при противоположных ребрах равны,
    • окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
    • все четырёхугольники, получающиеся на развертке тетраэдра, — описанные,
    • перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
  • Соразмерный тетраэдр, бивысоты которого равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

    • Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его ребрам (ребрам, не имеющим общих вершин).
    • Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер (не имеющих общих вершин).
    • Грани описанного параллелепипеда равновелики.
    • Выполняются соотношения:  4a^2{a_1}^2- (b^2+{b_1}^2-c^2-{c_1}^2)^2=4b^2{b_1}^2- (c^2+{c_1}^2-a^2-{a_1}^2)^2=4c^2{c_1}^2- (a^2+{a_1}^2-b^2-(b_1)^2)^2, где a и a_1, b и b_1, c и c_1 - длины противоположных ребер.
    • Для каждой пары противоположных ребер тетраэдра плоскости, проведенные через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
    • В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.
  • Инцентрический тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Свойства инцентрического тетраэдра:

    • Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра ), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка - центр тяжести тетраэдра.
    • Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров - инцентрических.
    • Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
    • Биссектрисы углов двух граней, проведенному к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
    • Произведения длин противоположных ребер равны.
    • Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трех ребер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих ребер, является равносторонним.
  • Правильный тетраэдр (одно из пяти тел Платона) - равногранный тетраэдр, у которого все грани правильные треугольники.

Свойства правильного тетраэдра:

    • все ребра тетраэдра равны между собой,
    • все грани тетраэдра равны между собой,
    • периметры и площади всех граней равны между собой.
    • Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
    • Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
    • Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
    • В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
    • Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причем ребра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше ребер правильного тетраэдра.
    • Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
    • Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
    • Скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра[править | править вики-текст]

  • Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках ~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1), ~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2), ~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3), ~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4), равен
~ V = \frac16
\begin{vmatrix}
1 & x_1 & y_1 & z_1 \\
1 & x_2 & y_2 & z_2 \\
1 & x_3 & y_3 & z_3 \\
1 & x_4 & y_4 & z_4
\end{vmatrix} = \frac16 \begin{vmatrix}
x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\
x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\
x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1
\end{vmatrix},

или

~ V = \frac{1}{3}\ S H,

где ~S – площадь любой грани, а ~H – высота, опущенная на эту грань.

288 \cdot V^2 =
\begin{vmatrix}
  0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
  1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
  1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
  1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\
  1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0
\end{vmatrix}.
  • Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
  • Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол  \phi , находится по формуле:

 V = \frac{1}{6} ab h \sin \phi .

  • Объём тетраэдра через длины трех его рёбер a,b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы  \alpha, \beta, \gamma , находится по формуле [5]
 V = \frac{1}{3}\ abc \sqrt {D} ,

где  D=
\begin{vmatrix}
  1 & \cos \gamma  & \cos \beta \\
  \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\
  \cos \beta & \cos \alpha & 1         
 \end{vmatrix}.

  • Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол  \gamma :
 S = \frac{1}{2}\ ab \sqrt {D} ,

где  D=
\begin{vmatrix}
  1 & \cos \gamma  \\
  \cos \gamma & 1 \\
 \end{vmatrix}.

Тетраэдры в микромире[править | править вики-текст]

Тетраэдры в живой природе[править | править вики-текст]

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике[править | править вики-текст]

  • Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
  • Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
  • Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр[6].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον»
  2. Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  3. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
  4. В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
  5. Моденов П.С. Задачи по геометрии. — М.: Наука, 1979. — С. 16.
  6. http://knol.google.com/k/%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%B3%D0%B5%D1%80#view Триггер

См. также[править | править вики-текст]