Метрический дифференциал
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Метрический дифференциал — обобщение понятия производной на (липшицевы) отображения из евклидова пространства в произвольное метрическое пространство. Впервые рассмотрен Берндом Киркхаймом[1].
Метрический дифференциал отображения в точке является нормой на и обычно обозначается .
Определение
[править | править код]Метрический дифференциал отображения в точке определяется как норма на такая, что
где обозначает расстояние между точками и по норме .
Свойства
[править | править код]- Для метрического дифференциала выполняется аналог теоремы Радемахера — если липшицевское, то метрический дифференциал определён почти в каждой точке области определения.
- Прямое обобщение теоремы Радемахера невозможно, поскольку метрическое пространство не обладает линейной структурой, требуемой для дифференциала. Даже в случае банахова пространства заключение самой теоремы неверно — например, отображение , определённое как индикатор , не имеет производную ни в одной точке, несмотря на то, что отображение липшицево и даже сохраняет расстояния.
Примечания
[править | править код]- ↑ Bernd Kirchheim. Rectifiable metric spaces: local structure and regularity of the Hausdorff measure (англ.) // Proc. Am. Math. Soc. : journal. — 1994. — Vol. 121. — P. 113—124.
Ссылки
[править | править код]- М. Б. Карманова. Метрическая теорема Радемахера и формула площади для липшицевых отображений со значениями в метрическом пространстве // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ.. — 2006. — Т. 6, № 4. — С. 50—69.
- А. И. Тюленев Введение в геометрическую теорию меры Лекция 7. Метрический дифференциал. Теорема Киркхайма.