Липшицево отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Липшицево отображение (названо в честь Рудольфа Липшица) — отображение между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение метрического пространства в метрическое пространство называется липшицевым, если найдётся некоторая константа (константа Липшица этого отображения), такая, что

при любых . Это условие называют условием Липшица.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также -липшицевым.
  • Нижняя грань чисел , удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения .
  • Отображение называется билипшицевым, если у него существует обратное и оба и являются липшицевыми.
  • Отображение называется колипшицевым, если существует константа , такая, что для любых и найдётся такое, что

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
  • Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
  • Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:

История[править | править вики-текст]

Отображения со свойством

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при , а при  — условием Гёльдера.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]