Минимальная поверхность Бура

Поверхность Бура.

Поверхность Бура без точек с $r<0,5$, чтобы лучше показать самопересечения.

Минимальная поверхность Бура — двухмерная минимальная поверхность, вложенная с самопересечениями в трёхмерное евклидово пространство. Поверхность названа именем Эдмонда Бура, работа которого о минимальных поверхностях получила в 1861 году математический приз Французской академии наук.

Описание

Поверхность Бура пересекает себя по трём находящимся в одной плоскости лучам, расходящимися под равными углами из начала координат. Лучи делят поверхность на шесть листов, топологически эквивалентных полуплоскостям. Три листа лежат в верхнем полупространстве и три в нижнем. Четыре листа попарно касаются друг друга на каждом луче.

Уравнение

Точки на поверхности можно параметризовать в полярной системе координат парой чисел $(r,\theta )$. Каждая такая пара соответствует точке в трёхмерном пространстве согласно параметрическому представлению

$x(r,\theta )=r\cos(\theta )-(1/2)r^{2}\cos(2\theta )$

$y(r,\theta )=-r\sin(\theta )(r\cos(\theta )+1)$

$z(r,\theta )=(4/3)r^{3/2}\cos(3\theta /2).$

Поверхность можно выразить как решение полиномиальных уравнений порядка 16 в прямоугольной системе координат трёхмерного пространства.

Свойства

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера, метод превращения некоторых пар функций от комплексных чисел в минимальные поверхности, порождает эту поверхность для двух функций $f(z)=1,g(z)={\sqrt {z}}$. Бур доказал, что поверхности в этом семействе развёртываются в поверхность вращения.

Литература

• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny. Minimal Surfaces. — Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. — Т. 339. — (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-3-642-11697-1.