Нотация Фойгта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком Вольдемаром Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения

[править | править код]

Если тензор 4-ранга обладает симметрией по первой и второй паре индексов:

,
,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

.

Например, компонента будет соответствовать элементу матрицы .

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука

[править | править код]

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

,

где и  — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения:

,

где  — свободная энергия[уточнить] в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует . Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных[1]. Поэтому матрица , составленная из компонент , будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

,

где индексы пробегают значения от 1 до 6, или:

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации , , необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты входит слагаемое , которое в матричной записи соответствует слагаемому .

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости :

Тензор характеризуется той же степенью симметрии, что и . Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице .

Обратное матричное уравнение , где , выглядит следующим образом:

Преобразование поворота

[править | править код]

При переходе от декартовой системы координат к декартовой системе координат путём поворота, компоненты тензора упругих постоянных преобразуются по следующей формуле в соответствии с преобразованием тензора четвёртого ранга[2]:

Тензор упругости изотропного материала: упругие свойства определяются 2 постоянными (в данном примере — постоянными Ламэ и ):

Тензор упругости материала с гексагональной симметрией: тело, обладающее гексагональной симметрией, характеризуется наличием оси симметрии (в данном случае ), при повороте вокруг которой свойства не меняются; описывается 5 независимыми упругими постоянными:

.

Единичной матрице соответствует единичный «симметризующий» тензор :

Примечания

[править | править код]
  1. Фильтры на поверхностных акустических волнах (расчёт, технология и применение) = Surface wave filters: design, constructin, and use / Под ред. В. Б. Акпамбетова. — М.: Радио и связь, 1981. — С. 11. — 472 с. — 5000 экз.
  2. Witold Novacky. Teoria Sprezystosci. Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Дата обращения: 17 декабря 2019. Архивировано 17 декабря 2019 года.

Литература

[править | править код]