В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности[1]. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.
Дано неоднородное волновое уравнение:
![{\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11b79674cd33d4cda0f30f221571edd737d6eaa)
с начальными условиями
![{\displaystyle u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb04ddcf9a1df477e3a72d6e7ca9faeb2a78826)
Решение имеет вид:
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}f(\xi ,s)\,d\xi \,ds.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a0efcf10687fa592357b5bb30d073216134969)
Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:
![{\displaystyle P(\partial _{t})u(t)=F(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c0962ebf95393628c385cc56f3a10b6ac18001)
![{\displaystyle \partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703b309bde92c8d003bc7a9787eec421ffcecad8)
где
![{\displaystyle P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c99f20080828e7f50e3ac9220d970ae0157deb3)
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
![{\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/636c0efd4c0dbd80bc6c27a6cd1b97bacb858540)
Определим
,
- характеристическая функция на интервале
. Тогда
![{\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc6d9ca36c26341ca8d7c70c576868a6e73b041)
есть обобщённая функция.
![{\displaystyle u(t)=(H\ast F)(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ccfc8c1e77794955a3c840682b97b52a6ffcb45)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5557dd859f937b766e1b3cf8ab188f350ee15f40)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6b60b2c657c995ef238abedb29ead003ee7bb00)
есть решение ОДУ.
Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:
![{\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a26ce98c793b0391e4b0d7a216d1793fd673d2)
где
![{\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6dce5cf9ed4645b2c0c64137603c02137c864d4)
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем
![{\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42328900d2084c6d0acdf5624d51ddeb9138cd99)
где
это ОДУ порядка m по t. Пусть
это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в
.
Для каждого
решим
![{\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a320299959784468055a6021b60a47f5da86735b)
Определим
. Тогда
![{\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e22d09f829daacf188b75bc6560a7eaecabf881)
есть обобщённая функция.
![{\displaystyle {\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7879938933628c13d220d86c8210a7c6c6db2e3)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab19e011989ae7b8136153846bdaea27da295280)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea87cf0f84361211ed05bbed8df01a565ac4354)
есть решение уравнения (после перехода назад к x).