Производная по времени

Производная по времени — производная функции по отношению к времени, обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. Время обычно обозначается переменной $t$.

Обозначения

Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,

${\frac {dx}{dt}}$

Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:

${\dot {x}}$

(так называемая ньютоновская нотация).

Высшие производные по времени обозначаются так:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

или в сокращённом виде: ${\ddot {x}}$.

В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.

В более общем случае, производная по времени от вектора:

${\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\ ,$

определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть

${\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .$

Применение в физике

Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора $x$, производная по времени ${\dot {x}}$ это его скорость, а вторая производная по времени ${\ddot {x}}$ это его ускорение. Третья производная по времени известна как рывок.

Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга:

• сила является производной по времени от импульса
• мощность является производной по времени от энергии
• Сила тока является производной по времени от электрического заряда

Применение в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных используют производные по времени.