Пфаффианом кососимметричной матрицы называется некоторый многочлен от её элементов, квадрат которого равен определителю этой матрицы. Как и определитель, пфаффиан является ненулевым только для кососимметричных матриц размера
, и в этом случае его степень равна n.
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dcb2c24c565a6d5688895c2503e4f41cdefdf03)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51519915472d50469c817c8d0b3f59d626ae591)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&\cdots &0&0\\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eabb128ec7244f2795e05bd83c47d9a76c5b703)
Пусть
обозначает множество всех разбиений множества
на неупорядоченные пары (всего существует
таких разбиений). Разбиение
может быть записано
![{\displaystyle \alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdb4ae94e0b2ab8adcf8d94a68e9a75b7123109)
где
и
. Пусть
![{\displaystyle \pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5255be95b394e1d1106f028255490cfcfea8f4df)
обозначает соответствующую перестановку, а
— знак перестановки
.
Нетрудно видеть, что
не зависит от выбора
.
Пусть
обозначает
кососимметричную матрицу. Для разбиения
определим
![{\displaystyle A_{\alpha }=\operatorname {sgn} (\alpha )a_{i_{1},j_{1}}a_{i_{2},j_{2}}\cdots a_{i_{n},j_{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e70f75857bf5cc7c76b5bff19a686d4829e88be)
Теперь можно определить пфаффиан матрицы A как
![{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{\alpha \in \Pi }A_{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3750beee9dca3b110da58af8082a33278f12aada)
Пфаффиан кососимметричной матрицы размера
для нечётного n равен нулю по определению.
Пфаффиан матрицы размера
полагается равным 1; пфаффиан кососимметричной матрицы A размера
при
может быть определён рекурсивно следующим образом:
![{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (i-j)}a_{ij}\operatorname {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd0b2305300bc2e0c092ab38c1b6a7e6b615315)
где индекс
может быть выбран произвольно,
— функция Хевисайда,
обозначает матрицу A без i-той и j-той колонки и строки.
Для
кососимметричной матрицы
рассмотрим бивектор:
![{\displaystyle \omega =\sum _{i<j}a_{ij}\;e_{i}\wedge e_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bc294981e2adca410a3c93e7adf7172917ba07)
где
есть стандартный базис в
. Тогда пфаффиан определяется следующим уравнением:
![{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\omega ^{\wedge n}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\wedge e_{2}\wedge \dots \wedge e_{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9fb20608a699853dd414b06b6588dd3349409d)
где
обозначает внешнее произведение n копий
.
Для
кососимметричной матрицы
и для произвольной
матрицы
:
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac14f4f03baf8d45c754dda6b791580bba352b5)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c776dd5c6dbc7e9e9dcb312275a822f693bfe7)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86c3b719c8211ee11e3a6e5c224d1a14fcd74c3)
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ad6f808c23b583847b62bb6f8da0b7dcba8abb)
- Для блок-диагональной матрицы
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf}}(A_{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b89a8db4dcc77d1d9cd57f83fd5989007c0406a)
- Для произвольной
матрицы
:
![{\displaystyle {\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{n(n-1)/2}\det M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8caf69fc8817d525f8a9a46547f3f54a02d3001)
Термин «пфаффиан» был введён Кэли[1] и назван в честь немецкого математика Иоганна Фридриха Пфаффа.