Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней $k>2$ уравнение $a^{k}+b^{k}=c^{k}$ не имеет решения в натуральных числах $a,b,c$.

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнения

${\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}$

не имеют решения в натуральных числах.

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для $k=5$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера:

$27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.$

Для $k=4$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году. Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

$414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},$

Однако для $k=6$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж предположили, что уравнение

$\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}$

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если $k\leq m+n$.

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая $(k,2,1),k>3$ и отсутствие решений для $(3,2,1)$.

Поиск решений уравнений $(k,m,n)$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для $k=m+n$, но и для $k<m+n$. Поиском решений для различных $(k,m,n)$ занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:

(4, 2, 2)

$158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}$, бесконечно много решений.

(4, 1, 3)

$422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}$, бесконечно много решений.

(5, 1, 4)

$144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}$, известно 2 решения.

(5, 2, 3)

$14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}$, известно 1 решение.

(6, 3, 3)

$23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}$, бесконечно много решений.

(8, 3, 5)

$966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}$, известно 1 решение.

(8, 4, 4)

$3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}$, известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)

k = 3

$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$ .

k = 4

$30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}$ (R. Norrie, 1911)

k = 5

$19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}$ (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)

k = 6

Решения неизвестны.

k = 7

$127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}$ (M. Dodrill, 1999)

k = 8

$90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}$ (Scott Chase, 2000)

k ≥ 9

Решения неизвестны.

Литература

• Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory (неопр.). — 3rd. — New York, NY: Springer-Verlag, 2004. — С. D1. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7.

Ссылки

• EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
• Гипотеза Эйлера Архивная копия от 21 июня 2013 на Wayback Machine
• Equal Sums of Powers - Tables Архивная копия от 6 мая 2021 на Wayback Machine
• Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities Архивная копия от 1 октября 2011 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Euler’s Conjecture at library.thinkquest.org
• Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle Архивная копия от 11 июля 2015 на Wayback Machine