Комплексная функция

Термин комплексная функция может относиться к двум видам функций:

Комплекснозначная функция

Комплекснозначная функция — функция вещественного переменного, имеющая комплексные значения:

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$.

Такая функция может быть представлена в виде

$f(x)=u(x)+iv(x)$,

где $i$ — это мнимая единица, т. е. $\!i^{2}=-1$, а $\!u(x)$ и $\!v(x)$ — действительные функции. Функция $\!u(x)$ называется действительной частью функции $\!f(x)$, а $\!v(x)$ — её мнимой частью.

Свойства

• Функция

$f^{*}(x)=u(x)-iv(x)$

называется комплексно сопряжённой функции $\!f(x)$.

• Произведение функции на её комплексно сопряжённую является квадратом модуля функции. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается символом

$|f(x)|^{2}=f(x)f^{*}(x)=u(x)^{2}+v(x)^{2}$

Функция комплексного переменного

Это понятие — обобщение предыдущего варианта:

$f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа — теория функций комплексного переменного или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

$\!f(z)=u(z)+iv(z)$,

однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы функция $f(z)$ была дифференцируема, должны выполняться условия Коши — Римана:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$;

${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$.

См. также

• Комплексное число
• Комплексный анализ