Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству — важный частный случай факторпространств.

Определение

Пусть $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — векторное пространство, а $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

$x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_{0}.$

Тогда $X/\,{\overset {}{\sim }}$ называют факторпространством $X$ по $X_{0}$ и обозначают $X/X_{0}$.

Факторотображение

Отображение $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$, сопоставляющее каждому элементу из $X$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на $X/X_{0}$ векторную структуру, задав операции $\langle +,\;\cdot \rangle$ следующим образом:

• $x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};$
• $\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Факторотображение на таком пространстве линейно: $\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0})$.