Замкнутое множество

Для термина «Замкнутость» см. также другие значения.

За́мкнутое мно́жество — подмножество пространства дополнение к которому открыто.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$. Множество $V\subset X$ называется замкнутым относительно топологии ${\mathcal {T}}$, если существует открытое множество $U\in {\mathcal {T}},$ такое что $V=X\setminus U$.

Замыкание

Замыканием множества $U$ топологического пространства $X$ называют минимальное по включению замкнутое множество $Z$ содержащее $U$.

Замыкание множества $U\subset X$ обычно обозначается ${\bar {U}}$, $\mathop {\rm {Cl}} U$ или $\mathrm {Cl} _{X}U$; последнее обозначение используется если надо подчеркнуть что ${\bar {U}}$ рассматривается как множество в пространстве $X$.

Свойства

• Множество $U$ замкнуто тогда и только тогда, когда ${\bar {U}}=U$.

Примеры

• Пустое множество $\emptyset$ всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок $[a,b]\subset \mathbb {R}$ замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ замкнуто в пространстве рациональных чисел $\mathbb {Q}$, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел $\mathbb {R}$.

См. также

• Открытое множество