Смешанное произведение: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
м r2.7.3) (бот добавил: lt:Mišrioji sandauga |
Addbot (обсуждение | вклад) м Интервики (всего 21) перенесены на Викиданные, d:q36248 |
||
Строка 49: | Строка 49: | ||
[[Категория:Векторный анализ]] |
[[Категория:Векторный анализ]] |
||
[[Категория:Тернарные операции]] |
[[Категория:Тернарные операции]] |
||
[[ca:Producte mixt]] |
|||
[[de:Spatprodukt]] |
|||
[[en:Triple product]] |
|||
[[es:Triple producto escalar]] |
|||
[[et:Segakorrutis]] |
|||
[[fr:Produit mixte]] |
|||
[[he:מכפלה מעורבת]] |
|||
[[hu:Vegyes szorzat]] |
|||
[[it:Prodotto misto]] |
|||
[[ja:三重積 (ベクトル解析)]] |
|||
[[kk:Аралас көбейтінді]] |
|||
[[ko:삼중곱]] |
|||
[[ky:Аралаш көбөйтүндү]] |
|||
[[lt:Mišrioji sandauga]] |
|||
[[pl:Iloczyn mieszany]] |
|||
[[pt:Produto triplo]] |
|||
[[sl:Mešani produkt]] |
|||
[[sv:Trippelprodukt]] |
|||
[[ta:திசையிலி முப்பெருக்கம்]] |
|||
[[uk:Мішаний добуток]] |
|||
[[zh:三重积]] |
Версия от 18:53, 12 марта 2013
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
- .
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Свойства
- Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
- т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
- Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
- Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:
- В частности,
- Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
- Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
- Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
- Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]:215.
- Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:
(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).
Обобщение
В -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).
В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:
В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.
См. также
- Двойное векторное произведение
- Векторное произведение
- Скалярное произведение
- Псевдоскалярное произведение
Примечания
- ↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.