Функция Мёбиуса

Функция Мёбиуса $\mu (n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение

$\mu (n)$ определена для всех натуральных чисел $n$ и принимает значения ${-1,\;0,\;1}$ в зависимости от характера разложения числа $n$ на простые сомножители:

• $\mu (n)=1$, если $n$ свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение $n$ на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=-1$, если $n$ свободно от квадратов и разложение $n$ на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
• $\mu (n)=0$, если $n$ не свободно от квадратов.

По определению также полагают $\mu (1)=1$.

50 первых точек

Свойства и приложения

• Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел $a$ и $b$ выполняется равенство $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$.

• Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа $n$, не равного единице, равна нулю

$\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

• $\sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)}{k}}=0.$

• $\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

• Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

$M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k).$

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций $f$ и $g$,

$g(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)$

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g(n/d)$.

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций $f(x)$ и $g(x)$, определённых при $x\geqslant 1$,

$g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)$.

Здесь сумма $\sum _{n\leqslant x}$ интерпретируется как $\sum _{n=1}^{\lfloor x\rfloor }$.

См. также

• Свёртка Дирихле

Литература

• Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
• Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки

• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №5, 2013.
• Лекторий МФТИ. Райгородский А.М. - Основы комбинаторики и теории чисел. Лекция №6, 2013.